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摘 要

数学分析中经常遇到各种运算次序的换序问题，这些运算包括求和、微分、求积分和求极限等。通过交换运算次数，往往能使许多困难问题获得解决。因此掌握各种运算次序的交换规则并运用其来处理和解决有关问题，是数学分析方法中的一个重要组成部分。在研究各种运算次序的交换问题时，一致收敛是不可缺少的一个重要概念。

关键词：一致收敛，极限，积分，微分，求和

Abstract：In mathematical analysis, we often encounter the problem of changing the order of various operations,such as summation,differentiation, integral and limit. Many difficult problems can be solved by exchanging the number of operations. Therefore, it is an important part of mathematical analysis methods to master the rules of exchanging various operations and use them to deal with and solve related problems. Uniform convergence is an indispensable concept for the exchange of operation orders.

Keywords: uniform convergence, limit,integral, differential, sum

目录

1 前言 5

2 预备知识 5

2.1 函数列的一致收敛性 5

2.2 函数项级数的一致收敛性 5

3 积分与积分的换序问题 5

4 极限与积分的换序问题 6

5 微分与积分的换序问题 9

6 极限与求和的换序问题 10

7 求和与求和的换序问题 11

8 积分与求和的换序问题 11

9 微分与求和的换序问题 12

10 极限与微分的换序问题 12

11 极限与极限的换序问题 14

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1 前言

一般来说，两种运算的次序是不能随意交换，需要一定的条件才行。但是，如果两种运算可以交换顺序，确实能给我们提供许多方便，比如，不少级数的求和问题及难以计算的积分等都是借助交换运算次序完成的。

在本文中，我们主要讨论极限、积分、求和、微分这四种运算的换序问题。我们将以求和与求积分为主线，也就是说，分别讨论求和与其他运算的换序以及积分与其他运算的换序问题。

2 预备知识

2.1 函数列的一致收敛性

定理2.1.1^［2］ 函数列在区间上一致收敛于的充要条件是：

定理2.1.2^［1］ 函数列在数集上一致收敛的充要条件是：对，，使得当时，，都有

2.2 函数项级数的一致收敛性

定理2.2.1^［2］ 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是

定理2.2.2^［3］ 函数项级数在上一致收敛

使得

3 积分与积分的换序问题

定理3.1^［4］（可积性） 设在上连续，若在上一致收敛，则在 上可积，且

定理3.2 ^［4］ 设在 上连续.若

(i)关于在上内闭一致收敛，关于在上内闭一致收敛.

(ii)积分

与

中有一个收敛.则

例1^［9］ 求积分

解 因为，所以

又因为，由收敛

所以关于一致收敛，所以

故

又因为

故

4 极限与积分的换序问题

定理4.1^［2］ 若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则

.

例 2^［10］ 与是否相等？

解 不等，事实上

而

故中极限与积分不能换序

例3 ^［3］ 函数列

画图知，，在上连续，且

而

所以并非一致收敛于0但

故上例说明，一致收敛性只是极限与积分换序的充分条件

4.2：凸函数在极限与积分换序问题中的应用

由例3知有些函数列运算可以通过积分与极限换序，但是却不满足函数列的可积性。那么在这里再补充一些关于凸函数定理，为运算提供方便

定义4.2.1^［8］ 区间上的实函数称为凸的是指，以及，有

定理4.2.2^［6］ 设在上是凸函数，且，，

定理4.2.3^［7］ 设，是上的可积函数， 是 上的凸函数，且.， 则

.

定理4.2.4^［7］ 设是上的凸函数，， ， ， (M是常数)且存在，使得， (当时)， ，则在上可积，

且

例4^［5］ 设

，

则

，

易知是在上的一列凸函数，

若取， ，

则，，(当时)，且 .

于是由定理4.2.3知

但是，由于， 在上并非一致收敛于，

例5 ^［5］ 设

则

，

易知在上是凸函数列，若取，，，，(当 时) ，同时

，

由定理3知

但是，由于， 故在上并非一致收敛到.

因此， 按照定理4.1，这时积分与极限是不一定能交换顺序的.

5 微分与积分的换序问题

定理5.1^［2］ 若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则在上可微，且.

例6 ^［2］ 计算积分

方法一 解 令， 当从0变到 时， 从0增到 1 .

故得

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