二阶变系数齐次常微分方程的求解方法及其应用

论文总字数：5616字

摘 要

关键词: 二阶变系数齐次常微分方程，幂级数解法，常数变易法

Abstract：In this paper, several methods for solving the second-order homogeneous differential equation with variable coefficients are studied, and the application of each method is given.

Keywords：The second order variable coefficient homogeneous differential equation, power series solution , constant variation method.

.

目 录

1 引言 ………………………………………………………………………………………… 4

2 二阶变系数齐次常微分方程 ……………………………………………………… 4

3 特殊解法及其应用 ……………………………………………………………………… 9

3.1 幂级数解法 ……………………………………………………………………………… 9

3.2 一般求解法及其应用 ………………………………………………………………… 10

结论 ………………………………………………………………………………………………… 13

参考文献 ………………………………………………………………………………………… 14

1 引言

二阶变系数齐次常微分方程在微分方程理论中占有重要位置.

那么，什么是常微分方程呢？常微分方程（Ordinary differential equation）是未知函数只含有一个自变量的微分方程.很多科学问题都可以表示为常微分方程.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.在实际工作中，常常出现一些有特点的问题，比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等，要以现有数据求得出形式上的函数解析式，而不是以已知函数来计算特定的未知数.物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数.解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式.但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方.在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识.因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程.

在许多实际问题中，常常将这些问题化成为二阶变系数线性微分方程，因此有必要研究这类方程的解法及其特性.本文利用实例来学习掌握二阶变系数齐次常微分方程的解法,诣在解决二阶变系数线性微分方程求解的问题，并提出二阶变系数线性常微分方程的求解基本方法和步骤，除此之外，还对几个特殊的题型分别详细讲解，以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要，为以后的方程求解工作奠定了基础.

2 二阶变系数齐次常微分方程

二阶常系数齐次微分方程在微分方程理论中占有重要位置，关于它的通解结构，有十分完美的结论，但求解二阶变系数微分方程却无一般方法.二阶是指对进行两次求导，变系数是指前面的系数均是跟有关的变化着的.下面我们讨论二阶变系数齐次线性微分方程：

（1）

为求二阶变系数齐次线性微分方程（1）通解，我们先求二阶常系数齐次线性微分方程：

（2）

（其中a,b,c为常数，a≠0）的通解.

定理1 如果是方程（1）的两个线性无关的解，则

就是方程（1）的通解，其中是两个任意常数.

通常称定理1是方程（1）的基本定理.

由定理1可知，欲求（2）的通解，关键是求方程（2）的两个线性无关的特解.根据求导经验，指数函数（为常数）的各阶导数是同类型的函数，仅相差一个常数因子.由此我们用来尝试，看能否选取适当的常数,使满足方程（2）.

对求导可得，.

那么这样，（2）式可以转化为.

因为，所以有

. （3）

若是方程(3)的一个解，则必是方程(2)的一个解. 因此我们很容易得到方程(2)的通解.

方程(1)与方程(2)结构类似，不同的是方程(1)是变系数，方程(2)是常系数，而常系数是变系数的特例.按照类比的方法，我们猜想方程(1)具有特解 ，此时就应找出应该满足的条件.

将，，代入方程（1），得：

因, 所以必有

(4)

对已知的和，如果存在常数恒有(4)式成立，则方程(1)必有特解.接下来是找方程(1)的与线性无关的是另一特解，于是我们想到常数变易法.

设是方程（1）的特解，且常数 则

，

，

将代入方程（1），整理可得：

.

而，所以

. （5）

方程（5）不含项，是可降阶的二阶线性齐次微分方程.令，于是（5）式可化为：

，

解之得： ,则

.

由于，则其不定积分不为常数，即，故方程（1）的两个特解与线性无关，从而方程（1）此时的通解为（ 其中为任意常数）.

综上所述，我们可得如下结论：

二阶变系数齐次线性微分方程满足条件

（其中为常数），

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