浅谈n级矩阵可对角化的条件

论文总字数：6367字

摘 要

关键词：矩阵，对角化，特征值，特征向量

Abstract：Diagonalization of matrix is an important issue in matrix theory. I conclude the diagonalization of matrix of conditions and prove it in this paper.

Key words：matrix, diagonalization, eigenvalue, eigenvector

目 录

1 引言……………………………………………………………4

2 矩阵对角化的基本概念………………………………………4

3 矩阵对角化的充要条件………………………………………5

4 特殊矩阵的对角化条件………………………………………9

4.1 实对称矩阵的对角化………………………………………9

4.2 循回阵的对角化 …………………………………………11

4.3 对合矩阵的对角化 ………………………………………14

结论………………………………………………………………17

参考文献…………………………………………………………18

1 引言

矩阵是高等代数中的重要理论,是许多数学分支研究的重要工具.而对角矩阵是一种特殊的矩阵,其格式最简单,研究起来也十分的便利.研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显,矩阵相似是一种等价关系,对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出一种简单的等价形式,这对理论分析是十分方便的.相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质,那么相似的矩阵可以看作是没有区别的,这时研究一个一般的可对角矩阵,只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了,而对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便.

线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一非常重要的性质.矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容.人们对此研究出许多有用的理论,比如以下这些条件：阶矩阵可对角化的充要条件是对应方阵的各特征值的特征向量,其线性无关的最大个数与特征值的重数相等; 数域上阶方阵可对角化的充要条件是方阵存在个线性无关的特征向量;数域上阶矩阵可对角化的充要条件是的最小多项式无重根等,除了这些充要条件还有一些充分条件、必要条件,然而这些条件都比较抽象,不便于记忆.

因此本课题通过阅读参考文献、查阅资料，总结出矩阵可对角化的若干条件,给予相应的证明过程,并以例题加以验证.

2 矩阵可对角化的基本概念

定义 设级矩阵,如果存在一数和一个非零向量,满足

.

那么称为矩阵的特征值,且是矩阵的属于特征值的一个特征向量.

定义 设是数域上一级矩阵,是一个数字,矩阵

的行列式

称为的特征多项式.

为了全文的完整叙述，我们先回顾一下求方阵的特征值、特征向量的步骤：

第一步：令方阵的特征多项式,得出的特征值.

设为方阵的互异特征值,重数分别为,且.

第二步：解齐次线性方程组,其基础解系

就是的特征值对应的特征向量.

定义 在数域上,若阶矩阵存在一个可逆矩阵使为对角矩阵,则称矩阵在数域上可对角化.

3 矩阵可对角化的充要条件

我们首先回顾一下学过的矩阵对角化知识.

定理 数域上阶方阵可对角化的充要条件是方阵存在个线性无关的特征向量.

引理1 阶矩阵可对角化的充要条件是对应方阵的各特征值的特征向量,其线性无关的最大个数与特征值的重数相等.

由引理1我们可以直接得出下面的定理.

定理 数域上阶矩阵可对角化的充要条件是：

1) 矩阵的每一个特征根都在数域上；

2) 对的任一个特征根,均有,其中的重数.

条件（2）等价于的每一个特征值的重数等于其所对应的特征向量的个数.

条件（2）等价于的每个特征根的重数之和是,也就是说属于的不同特征值的特征向量的总数是.

例1 设

判断是否可以对角化？

解 的特征多项式为

则的特征值为、.

对特征值,解方程,得

,

它的基础解系为

.

对特征值,解方程,得

,

它的基础解系为

.

因此特征值有两个线性无关的特征向量, 特征值有一个特征向量.依据定理2知,矩阵可对角化.

定理 数域上阶矩阵可对角化的充要条件是的最小多项式无重根.

证明 必要性 因为可对角化,则有可逆矩阵使

,

.所以

.

下证的最小多项式

.

先证事实上,若不能整除,

因,则.

存在复多项式使得

,

有

.

又这与是的特征值矛盾.所以从而

.

令

则

,

.

由于为最小多项式,得

,

,

故的最小多项式无重根.

充分性 的最小多项式无重根,设为的互异特征值,由前面的证明知

又

,

故

,

从而特征矩阵作为数域上的矩阵,其初等因子全为一次式,故可对角化.

例2 设阶矩阵,若,证明可以对角化.

证明 令,满足.

设的最小多项式,有,从而

或

或

三种情况下的最小多项式都无重根,由定理3知矩阵可对角化.

在定理3的形式上进一步削弱得到定理4.

定理 设是维向量空间的一个线性变换,的矩阵可以对角化的充要条件是可分解成个在下不变的一维子空间的直和.

证明 必要性 因可以对角化,则存在一组基,使在这组基下的矩阵为

.

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