初等矩阵的推广和应用

论文总字数：4415字

摘 要

关键词：初等变换；秩；逆矩阵；行列式

Abstract： This article first describes the definition and nature of elementary matrix and block elementary matrix and then discuss their application and promotion.

Key Words: elementary transformation; rank; standard form; determinant

目 录

1引言4

2 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念4

2.1矩阵的初等变换4

2.2初等矩阵的定义及性质5

3初等矩阵的推广6

3.1分块的初等矩阵的定义7

3.2分块的初等矩阵的性质7

4初等矩阵的应用8

4.1初等矩阵的应用8

4.2分块初等矩阵的应用9

结论13

参考文献14

1引言

矩阵理论是高等代数的一个重要分支，它不但是一门基础学科，而且是最具有使用价值、应用最为广泛的数学理论，如今已成为处理有限维空间形式及数量关系的强有力工具。初等矩阵作为一类常用矩阵，一直是矩阵分析领域比较热门的课题，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛，因此它的推广和应用问题一直备受关注.

初等矩阵作为矩阵的基础和核心，初等矩阵的应用是非常广泛并且重要的，它能够把各种相对复杂的矩阵转化为我们所需要的矩阵形式，从而使得计算量减小，不仅如此还在简化矩阵以及求逆矩阵等方面有着应用.

分块矩阵已经得到广泛的研究与应用，它不但是高等代数中一个非常重要的内容，而且也是研究高等代数很多分支问题的工具．在学习高等代数的时候经常会碰到一些比较棘手的问题，要用到分块矩阵的方法去解决，它可以使问题的解决更加简便；把一个高阶矩阵分成若干个低阶矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样来处理，这样高阶矩阵就化成为低阶矩阵，常常能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的。因此在求行列式的值，解矩阵方程，求逆矩阵的秩，求矩阵的逆等方面，分块矩阵都起着重要的作用。此文主要介绍了初等矩阵和分块初等矩阵的定义和性质，还有初等矩阵和分块初等矩阵的应用与推广，每个部分都给出了一些比较实用的定理以及经典的例题.

2 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念

2.1 矩阵的初等变换

定义1^【1】 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

(1)交换矩阵两行（交换两行，记作），即

(2)用任意数乘矩阵的某一行中的所有元素（第行乘，记作），即

(3)用数乘矩阵的某一行的所有元素加到另一行的对应元素上去（第的倍加到第行上，记作），即

把定义中的“行”换成“列”，就是矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把换成）.

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.

2.2 初等矩阵的定义及性质

定义2^【2】 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.

例如：我们将的2,3两行互换得到初等矩阵

，

将的第3行乘以-2倍所得初等矩阵

，

将的第1行的-5倍加到第2行上所得初等矩阵

.

定理1^【3】 对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对一个矩阵作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的初等矩阵。

例如：

即等同于.

即等同于.

定理2^【4】 初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，即：

3 初等矩阵的推广

3.1^【5】分块的初等矩阵的定义

对某个单位矩阵作分块， 对它进行两行(列)对换，得到,

某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵，得到,

一行(列)加上另一行(列)的 (矩阵)倍数，得到.

上述的的五类分块的矩阵，称为分块初等矩阵.

3.2 分块的初等矩阵的性质

定理3^【6】 用分块初等矩阵左乘(或右乘)某一矩阵．可以归结为以下三种：

（交换分块矩阵的某两行）；

（用一个可逆矩阵左乘某一行）；

（用一可逆矩阵坐左乘某一行到另一行）.

定理4^【7】 分块初等矩阵都是可逆的，且

（1）

（2）

（3）

证 因为

（1）

（2）

（3）

所以分块初等矩阵都是可逆的.

4.初等矩阵的应用

4.1初等矩阵的应用

1 初等矩阵在矩阵化简方面的应用

例1 求矩阵P使下面矩阵成行最简形

解

我们可以将上述过程表示成矩阵乘积形式：

,

则，那么.

2 初等矩阵在求逆矩阵方面的应用

例2 求 的逆矩阵.

解 构造分块矩阵，然后再进行行变换：

,

当化成单位矩阵时，就化成了的逆矩阵

于是得：

.

4.2分块初等矩阵的应用

1 应用分块初等矩阵求逆矩阵

例3 若，均为可逆方阵，证明可逆，并且求.

证 由

得可逆，且

==.

例4 若，均为可逆方阵，证明可逆，并且求.

证 由

得可逆，且

.

2 应用分块初等矩阵计算行列式

例5^【8】 计算阶行列式

解：

设

则可逆，所以

3 应用分块初等矩阵求矩阵的秩

例6 证明秩秩 秩

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：4415字