随机时滞竞争系统的全局渐近稳定性

论文总字数：7727字

摘 要

关键词: 竞争模型，随机扰动，全局渐近稳定性

Abstract: In this thesis, sufficient conditions for global asymptotic stability of a stochastic non-autonomous Lotka–Volterra competitive system with infinite delays are established. Some recent results are improved and generalized.

Keywords: competitive model, random perturbations, global asymptotic stability

目 录

1 引言 4

2 主要结果 5

3 数值模拟 14

结论 16

参考文献 17

致谢 19

附录 20

1 引言

生物种群模型正解的全局渐近稳定性一直是并将继续是生物数学研究领域中的重要课题之一．由于在自然界中物种的生长不可避免地受到多种环境噪声（如：阳光强度、温度、水位等的变化）的影响^[1]，许多学者研究了随机生物种群系统的全局渐近稳定性．Jiang等人做出了开拓性的工作^[2]，他们研究了如下的随机logistic模型的全局渐近稳定性：

(1)

其中是以T为周期的周期函数，是一个标准的Wiener过程．他们证明了如果，那么系统（1）的解是全局渐近稳定的．后来这些结果由Li和 Mao^[3] 推广和改善，他们研究了如下的随机Lotka-Volterra竞争系统:

(2)

其中是定义在上的连续有界函数,是相互独立标准的Wiener过程 ．Li和 Mao^[3] 证明了如果对于每一个 都有

(3)

那么模型（2）将会全局渐近稳定．Hu 和 Mao^[4] 研究了带有Markovian切换的随机Lotka-Volterra竞争系统的全局渐近稳定性．Bao等人^[5] 建立了具有Lévy跳的Lotka-Volterra竞争系统全局渐近稳定的充分条件．Liu 和Wang^[6,7] 分别研究了随机捕食模型和随机合作模型的全局渐近稳定性．

在自然界中，生物的生长不可避免地受到时滞的影响^[8]，例如，资源的再生、反应、成熟都需要时间．另外，物种之间为了有限的资源相互竞争是自然界中一种普遍的现象，从而研究随机时滞竞争系统的全局渐近稳定性就显得很重要．据我们所知，目前还没有关于这方面的研究工作，本文的目的就是探讨这个问题．

在本文中我们研究如下随机时滞竞争系统正解的全局渐近稳定性：

(4)

其中是定义在上的非负有界连续函数；是一个定义在完备概率空间上的Wiener过程；是定义在上的连续有界可微函数， ，；是定义在上的概率测度；表示物种的时滞情况^[9]．这里我们之所以用一个维Wiener过程而非单个标准Wiener过程来描述环境扰动，是因为环境噪声对的影响可能是独立的或者相关的．

本文结构如下：在第2章中，本文将建立模型（4）的全局渐近稳定的充分条件，改进和推广最近的一些研究结果．在第3章中，本文将用一个仿真图来说明主要的结果．在最后一章中，本文将给出结论．

2 主要结果

为了方便起见，我们记 ，表示有界连续函数，定义对于如下随机微分方程：

定义

其中．

定义 若对于模型（4）的任意两个分别满足初值条件

的解和

都有，则称模型（4）为全局渐近稳定（全局吸引）的．

引理 1 对于任意初值条件，方程（4）几乎确定有唯一的全局正解.

证明 因为方程（4）的系数是局部Lipschitz连续的^[10]，那么对于任意初值，（4）有唯一的局部解 ，其中表示爆炸时间^[10]．现仅需证．让足够大，使的每个分量都大于等于并且小于等于．对于每个大于的整数，定义

.

设，那么有．因此仅需证．若该命题不成立，我们可找到一个正常数T和，使得.从而存在一个大于的整数使得

． （5）

定义

其中是的反函数．

因此我们就可以得到

其中

(6)

其中 在最后一个不等式的证明中, 我们利用了如下结果：

从而有

应用基本不等式，可以得到

其中 由Gronwall不等式，我们可以得到

下面的证明是熟知的，因此省略．证毕．

引理 2 对任意，存在，使得

(7)

证明 定义 我们可以得到

从而有

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