论文总字数：4683字

摘 要

：积分中值定理是数学分析学习过程中最重要的内容之一，本论文主要讨论的内容是积分中值定理与推广，并给出积分中值定理一些具体应用实例，把积分中值定理和它的一些推广与实际应用相结合，来充分说明积分中值定理在数学分析中的重要性.

关键词：积分中值定理；推论；证明；应用

Abstract：Integral mean value theorem is the mathematical analysis is one of the most important content of the learning process, this paper mainly discuss the content of the integral mean value theorem and promotion, and integral mean value theorem is given some concrete application examples, the integral mean value theorem and some of its popularization combined with practical application, to fully show the importance of the integral mean value theorem in the mathematical analysis.

Keywords：Integral mean value theorem, Inference, Certificate, application

目 录

1　引言 4

2 积分中值定理 4

2.1 定积分中值定理及推广 4

2.2 积分第一中值定理及推广 6

2.3 积分第二中值定理及推广 7

3 积分中值定理的应用 9

3.1 积分中值定理在求极限中的应用 9

3.2 判断某点的存在性 10

3.3 判别级数的敛散性 11

3.4 确定函数零点分布 12

3.5 证明不等式 12

参考文献 13

1　引言

积分中值定理揭示了一种积分方法,就是将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分方法.其中，微积分的创立极大地推动了数学的发展.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，是数学分析的基本定理和重要手段，并且对于后续课程的学习也起着较大作用.

通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如求极限、判断某点的性质、判别级数的敛散性等.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们仍然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.

2　积分中值定理

2.1 定积分中值定理及推广

2.1.1 定积分中值定理

引理：假设和分别为函数在区间上的最大值和最小值，则有

，

成立.

证明　因为和分别为函数在区间上的最大值和最小值，即，我们对不等式积分得

由积分性质知

①

成立，命题得证.

定理1（定积分中值定理）：如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一个点，使下式

=， （）

成立.

证明　由于，将①同时除以可得

此式表明介于函数的最大值M和最小值m之间.

由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间上至少存在一点，使得函数在点处的值与这个数相等，即应该有

成立，将上式两端乘以即可得到

，

命题得证.

注：可以看出，积分中值定理公式

（在与之间）

中，不论还是都成立.

例1　设在上连续，在内可导，且存在，使得，证明在内存在一点，使得.

证明　对于式中的右边的作3种假设

i　若，则由积分中值定理，存在，使得，则，又为中值，必存在.从而由在内可导知，存在，，.故存在，.

ii　若，同理可证.

iii　，两边求导，，即令即证.

2.1.2 定积分中值定理的推广

推论1(推广的定积分中值定理)：如果函数在闭区间连续，则在开区间至少存在一个点，使得

②

成立.

证明^[1]　作辅助函数如下，

由于在闭区间连续，则在上是连续函数且可微，则有成立.

由微分中值定理可知，至少存在一点，使得成立.并且有，，此时即可得到下式

，

所以②式在开区间情况下成立.

2.2 积分第一中值定理及推广

2.2.1 积分第一中值定理

定理2(第一积分中值定理)：如果函数与在闭区间上连续，且在上不变号，则在上至少存在一点，使得

， ③

成立.

证明^[2]　由于在上不变号，我们不妨假设，这时有

，

其中、分别为在上的最大、最小值.由定积分的不等式性质，得到

.

若，则由上式知，从而对任何，③式都成立.若，则得

.

由连续函数的介值性，必至少有一点，使得

，

这就证得③式成立.

2.2.2 积分第一中值定理的推广

推论2（推广的积分第一中值定理）：如果在闭区间上连续，函数在闭区间上是可积的，且在上是不变号的，则在上至少存在一点，使得

④

成立.

证明^[3]　由于在上是不变号，所以我们可以设.

由在闭区间上连续，我们不妨设都有.

（1）当时，则为常函数，则对，，所以对都有成立.

（2）当时由都满足则有成立.

如果，④式显然成立；如果不恒为零，则由于，所以不可能恒为M，或者恒为m.则必存在某个点使得，则有

同理可得所以得.由介值定理可得，，使.

即.综上所述使得④式得证.

2.3 积分第二中值定理及推广

2.3.1 积分第二中值定理

定理3（积分第二中值定理） 如果函数上可积，

i　若函数在上递减，且，则存在，使得

，

ii　若函数在上递增，且，则存在，使得. ⑤

证明　先证（i）记，则在上连续，在

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