留数在积分计算中的应用

论文总字数：5412字

摘 要

关键词:留数，留数定理，奇点，洛朗级数

Abstract: In this paper，we mainly studies the application of residue calculation in some aspects. We can simplify calculate by transforming complex Integration calculations into a residue simple calculation with relationship of residue and integral.

Keywords：the residue， the residue theorem， singularity， laurent series

目 录

1 前言 4

2 预备知识 4

2.1 留数的定义及留数定理 4

2.2 留数的求法 4

3 留数在复变函数积分计算中的应用 5

4 留数在实变函数积分计算中的应用 7

4.1 计算类型的积分 7

4.2 计算型积分 8

4.3 计算类型的积分 9

4.4 计算类型的积分，其中在复平面上只有有限个孤立奇点，除了这些孤立奇点外处处解析 10

5 杂例 10

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1 引言

留数又称残数，是复变函数论中一个重要的概念. 是解析函数沿一条正向简单闭曲线的积分值. 它和计算周线积分的问题有密切关系. 留数可以是很容易计算的，一旦知道了留数，就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分.

在积分计算中一些被积函数的原函数往往难以求出，或者不能够用初等函数表示出来，有些原函数虽然能够求出，但是非常复杂.而在实际问题中，不得不求出这些复杂的积分，从而继续下面的研究. 这时，就可以利用复变函数中的留数来进行计算.根据复变函数中的留数定理，要计算某些积分，只需计算出一些解析函数在孤立点的留数，由于留数的计算较为简便，这样就把问题大大化简了.但目前留数只在一些特殊情况下，可以简化积分计算.本文就是探究总结一些可以利用留数计算积分的特殊题型.

例如在复积分计算中的一些应用，以及在几类是积分计算中的计算. 本文将通过不同的题型来分析总结出这类题型所具备的特征和解题方法，从而达到简化积分计算的目的.

2 预备知识

2.1 留数的定义及留数定理

定义1 设函数以有限点为孤立奇点，即在点的某个去心领域内解析，则称积分

为在点的留数，记为.

引理1(留数定理) 在周线或复周线所范围的区域内，除外解析，在区域除外连续，则

.

2.2 留数的求法

为了利用留数定理求周线积分，必须要先掌握留数的求法. 而计算在孤立奇点的留数时，我们只看它的洛朗展式中的这一项的系数，所以应用洛朗展式求留数是一般方法. 而求阶极点处留数，如果利用一般方法，那么每求一个极点处的留数都要去求一次洛朗展式，所以我们可以利用下面的定理是求阶极点处留数的公式，来简化计算. 不过这个公式对于阶数过高的极点，计算起来也未必简单.

引理2设为的阶极点，

，

其中在点解析，则

.

这里符号代表且有.

特别的:

若为的一阶极点，，则.

若为的二阶极点，，则.

引理3 设为的一阶极点（只要及在点解析，且，，. ），则.

3 留数在复积分计算中的应用

利用留数计算复积分，一般要求出被积函数在积分路径内部的孤立奇点，判定类型，计算出留数，然后应用留数定理即可得到所求的积分值.

下面我将举出，留数在解决特定闭曲线积分计算中的例题.

例1 计算.

解 在内，函数有一阶极点，及三阶极点0.

.

同理

.

而在内的洛朗展示为

，

故

.

从而

.

通过这道例题可以看到，利用留数将这类复杂积分简化成简单的留数计算，从而大大减少计算量.

那么是否可以将任意的简单闭曲线的积分计算转化成留数的计算，从而打到简化计算的目的吗？下面将通过另一道例题来分析说明.

例2 计算，其中为平面上任意一条不经过的简单闭曲线.

解 函数在内的奇点个数，因的不同情况而异，设，在圆环内展开为洛朗级数.

.

因此，若为的奇点，则. 又若在内部，则就是的1阶极点，因此.

分以下情况讨论:

1）若内不含则原积分;

2）若内只含，不含，则原积分；

3）若内不含，只含，则原积分；

4）若内部含与，则原积分.

通过这道例题，可以看到，留数在计算任意简单闭曲线的积分计算中一样可以发挥他的作用.

4 留数在实变函数积分计算中的应用

在计算实变函数的积分计算中，用一般的方法往往难度很大，而且有些被积函数的原函数无法用初等函数表示，所以可以通过留数来简化计算.

4.1 计算类型的积分

这种被积函数中含有三角函数的积分计算往往计算量较大，并且被积函数的原函数难于表示出来.下面总结出一了些规律，利用留数来简化它们的计算.

令，那么有，，，则可以将三角积分转化为复变函数的回路积分:

.

例3 计算

解 根据公式可得到

，

由于所以:

.

显然，利用了留数，很快便可求出这种复杂的积分计算结果.

4.2 计算型积分

为了计算着这种无穷限的反常积分，需要做它的辅助曲线. 然后估算辅助曲线上的积分.

设沿圆弧，（充分大）上连续，且于上一致成立（即与中的无关），则.

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