探讨圆锥曲线的最值问题

论文总字数：5039字

摘 要

关键词：圆锥曲线，最值问题，方法

Abstract: The value of the conic problem is an important part of analytic geometry.This paper,equations,the geometric properties,defined by the conic function,inequality and so on to explore the value of the conic.Designed to make students use the contact point of view,the movement to solve practical problems,so as to improve students’ interest in learning mathematics.

Keywords: Conic，The most value problems ，Methods

目 录

1 前言 4

2 求圆锥曲线最值的方法 4

2.1 曲线外任一点到曲线上一点的最值 4

2.2 定义法求最值 5

2.3 将最值问题转化到几何问题 7

2.4 化为二次函数法求最值 9

2.5 利用不等式求最值 9

2.6 利用判别式法求最值 11

2.7 利用参数法求最值 12

2.8 用导数法求最值 13

结论 16

参考文献 17

致 谢 18

1 前言

圆锥曲线是平面解析几何中的重要部分，而求圆锥曲线最值的问题是历年高考的热点，也是一个难点。其出现的形式很多，有一点到曲线上的点的距离最值问题，有求几个线段之和、之积的最值问题，有求图形的面积最值的问题等.对于这些问题，我们要从函数、方程、三角几何、导数等角度思考问题，其解决问题的方法亦很多.但其基本思想是函数思想和数形结合思想，其基本策略主要是从代数和几何两个角度分析.在解题过程中，由于这种复杂性，很多学生找不到突破口，用一般方法建立的函数关系，又求不出最值，很是苦恼，往往望而止步.

一般求圆锥曲线最值的方法有曲线定义、方程、几何性质、函数、不等式等方面.本文就常见题型着重分析求最值的方法，以此来解决我们遇到的困难.

2 求圆锥曲线最值的方法

2.1 曲线外任一点到曲线上一点的最值

圆外一点到圆上存在距离最长最短的点，而到抛物线、双曲线上只存在距离最短的点.

例1 如图，试证圆外一点到圆上距离最长为和最短的距离为.

证明 过点和点作直线与圆交于点、，在圆上任选一点,连接、、.

因为∠90°， 所以∠＞90°是钝角,所以在△中，钝角所对这条边最长.所以是最长距离.

在圆上任选一点，过点作，即为圆的切线.所以＞90°是钝角.

又在△中，钝角所对边最长,所以＞.所以是最短距离.

例2 设、分别为圆 （-6）=2和椭圆上的点，则、的最大距离和最小距离是多少？

解 设椭圆上的点为（,）, 圆 （-6）=2的圆心为（0,6），半径为.

又椭圆上的点与圆心的距离为

=.

所以、两点间的最大距离为

.

由图知，、两点间的最小距离为

--1=-.

与圆有关的最值问题往往与圆心有关，曲线外定点到抛物线以及双曲线的最短距离的点即为圆锥曲线的切线与过此定点的直线垂直所交的点；但抛物线与曲线没有最大值点.

2.2 定义法求最值

根据圆锥曲线的定义，即：椭圆、双曲线的第一定义，以及双曲线的第二定义：曲线上定点到焦点（）的距离与它到定直线（准线）：的比是离心率。把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等.

例3 已知点（3,2），为双曲线右支上的一点，为右焦点.

(1)求的最小值.

(2)求一点，使的值最小.

解 （1）由双曲线第一定义知: ，所以

-2-2=-2.

当在线段与双曲线右支的交点上时取等号. 故 的最小值为-2.

（2）右准线为=,(2,0),=2

由定义知

==2,

所以

,

显然，当、、共线且垂直于准线时取最小值，求得.

例4 已知为抛物线上的点，点(3，1)，是抛物线的焦点,如图，求在抛物线上找一点，使最小.

解 过作准线的垂线，垂足为，如图4所示

由抛物线的性质知,则

因为 ,所以=2,准线为-1，焦点.

要使最小，则点为与抛物线的交点.

所以

（）=4，

再另取一点,显然

＞

一般的，遇到有关焦点的或者准线的最值问题，首先想到用定义来解题.求解椭圆上的点到两个焦点的距离用椭圆的第一定义，求曲线上的一点到焦点和曲线外一点的距离的最值一般用到准线和离心率之间的关系即第二定义.

2.3 将最值问题转化到几何问题

我们学过在平面上找一点使得两点到这一点的距离最短，即当三点共线时最短.将此方法类比到圆锥曲线中去，进行最值的求解.

例5 点(2，2)是椭圆：外的一个定点，、分别为椭圆的左右焦点，点是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值.

解 由题意可知(-1，0) (1，0)

当、、三点共线时，=最小

所以

()=.

又由定义

=2.

所以

2-=(-) 2.

即当在的延长线上时，-最大.

所以

（-）= =.

所以

（ )= .

2.4 化为二次函数法求最值

根据题目所给的条件将所求问题转化为二次函数的最值问题，再利用配方法或均值不等式进行求解.

例6 在抛物线上求一点，使它到直线的距离最短。

解 设抛物线上的点，点到直线的距离为

.

当时，.

故所求点为.

函数法是我们探求解析几何问题时常用的方法之一，其中函数最常见的是二次函数等，值得注意的是函数的自变量的取值范围的考察.

2.5 利用不等式求最值

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