周期函数的最小正周期

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摘 要

周期函数是一类广泛应用于各种学科和生活中的函数。本文首先概述了周期函数研究的历史及简单应用，然后从周期函数和最小正周期的定义出发，收集了几种判断周期函数的方法，以及多种求周期函数最小正周期的方法，最后对周期函数最小正周期的一些疑难点进行了进一步的讨论。

关键字:周期函数；周期性；最小正周期

Abstract：Periodic function is a class of widely used in a variety of disciplines and life functions. This paper outlines the history and function of simple application cycle research, then from the definition of periodic function and the least positive period, a collection of several judgments periodic function method, and a variety of methods periodic function seek the least positive period, the last of the cycle some difficult point function were the least positive period for further discussion.

Keywords: periodic function; cyclical; least positive period

目录

1 引言 ………………………………………………………………………………………3

2 判断函数周期性的基本方法……………………………………………………4

2.1 方法1…………………………………………………………………………………4

2.2 方法2…………………………………………………………………………………5

2.3 方法3…………………………………………………………………………………5

2.4 方法4…………………………………………………………………………………5

3 周期函数的最小正周期的求法…………………………………………………7

3.1 定义法…………………………………………………………………………………7

3.2 公式法…………………………………………………………………………………7

3.3 图像法…………………………………………………………………………………8

3.4 检验法………………………………………………………………………………8

3.5 特殊值法……………………………………………………………………………9

3.6 等周期法……………………………………………………………………………9

3.7 猜测反证法………………………………………………………………………9

3.8 恒定变换法………………………………………………………………………9

3.9 逐步逼近法…………………………………………………………………………9

3.10 求导法………………………………………………………………………………9

4 解最小正周期的一些疑难点……………………………………………………11

4.1 复合幂函数的最小正周期……………………………………………………11

4.2 复合指数函数和复合对数函数的最小正周期 ………………………13

参考文献 ……………………………………………………………………………………15

1 引言

众所周知，在数学这门学科中，函数占有极其重要的地位，它几乎涉及到每个数学分支。因此，在数学这门课的学习中，需要对函数有深刻的理解。下面我们简单概述一下函数概念的历史发展过程。

早在古罗马时代，函数概念就已经出现萌芽。当时的数学家丢番图对不定方程已经有了较为深刻的研究。不过函数概念的迅速发展还是在16世纪微积分创立以后。文艺复兴时期，伽利略在《两门新科学》中，用文字表达函数的关系，全书围绕函数和变量的关系展开来写，书中已经明显设计到函数和变量。但是伽利略并没有将函数抽象出来，把文字叙述转化为符号形式。与此同时，也有其他许多数学家对函数进行了探究，大家熟悉的数学家笛卡尔曾提过几何曲线与机械曲线的区别并由此引出代数曲线（函数）和超越曲线(函数）的区别。

1718年约翰·贝努利在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义。之后的数学家欧拉对函数进行了更深一层的研究，在他的著作《无穷小分析引论》中，不仅把约翰·贝努利对函数的定义成为解析函数，他自己也对指数函数和对数函数做了详细的定义。更重要的是他展开了对三角函数周期性的研究。

19世纪，数学家对函数的研究更加深入。1807年，傅里叶提出了这样一个观点：任何周期函数都可以用正弦函数的级数表示。1822年傅里叶在《热的分析理论》一书中提出某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示或用多个式子表示。以后的数学家也对对应关系下的函数进行了更深层次的研究，如：柯西、狄拉克雷、康托尔·维布伦等数学家。在现代函数是概念中，数学家则是对集合论下的函数进行了研究，如豪斯道夫、库拉托斯基等数学家。

1930年新的现代函数概念有了更深层次的突破。函数的概念经过多位数学家的研究才形成今天的函数定义形式。

现在仍然有许多学者研究周期函数，研究周期函数的定义，周期函数最小正周期的存在条件，周期函数的对称性研究，概周期型函数和遍历性理论研究及应用发展等等。我们都知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期，如等。但也有些周期函数并无最小正周期，例如常值函数、狄利克雷函数等。那么，什么样的周期函数一定存在最小正周期？

在日常生活中，我们常常会遇到周期现象，即经历了一定时间后恢复到原来状态的现象，如声波的振动，钟摆的运动，人的心脏跳动等等。具有周期现象的物质的运动，其特点是周而复始。物理学中把物质在等时间内作往复的运动称之为周期运动。研究这些周期现象，在数学中用函数表述，这种函数叫做周期函数。周期就是研究周期函数的重要概念之一。

如正弦函数的值始终与角的终边的所在位置有关，终边每转一周，正弦函数的值就又重新回到原来的值。那么这种周期现象在数学里如何去描述呢？

即，更有一般地，即。将抽象为，就可以得到周期函数的定义。

对于函数如果存在一个常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有成立，那么函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期。如果在所有周期中存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期[1]。

以上内容是我们在高中就已经非常熟知的。在理解周期函数和周期的定义时，需要注意的几点，因为这些点看似容易理解，但等到做题时又经常会犯错。比如：周期函数定义中的“每一个值”非常值得注意，这四个字限定了一个条件：等式必须在的定义域上恒成立，才是周期函数，才是它的一个周期。周期为非零常数，与自变量的取值并无关系。如果是的一个周期，则也是它的周期，因为。同样由此可证…,也是该函数的周期，即都是的周期。

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