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摘 要

关键词：构造法，函数，方程，数列，等式

Abstract: Construction method is an important mathematical method and it has been widely used in the mathematical problem-solving. In this paper, the methods and skills of using construction method to solve mathematical problems will be mainly discussed in terms of structuring algebraic expression, function, equation, sequence, equality and graphics, etc.

Keywords: construction method, function, equation, sequence, equality

目 录

1 引言 4

2 构造法在数学解题中的应用 4

2.1 构造代数式法 4

2.2 构造函数法 5

2.3 构造方程法 7

2.4 构造数列法 8

2.5 构造恒等式法 10

2.6 构造几何图形法 12

2.7 构造反例法 13

2.8 构造“抽屉”法 13

2.9 构造数学模型法 14

结论 16

参考文献 17

致 谢 18

1 引言

作为数学而言，数学的符号从一开始就是构造的，如把现实生活中的问题转化为一种数学符号的表述，把对空间的直觉的图像构造成几何符号等．在某种意义上可以认为数学就是人们把一种思维转化为符号的理性构造^[1]．

在解题中，我们常会用这样的方法，通过对条件和结论的观察分析，将问题中条件和结论通过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，架起一座连接条件和结论的桥梁，使得复杂的问题简单化，抽象的问题形象化，从而达到解题的目的．这种解决问题的方法就是构造法．

构造法的本质特征是“构造”，基本思想是“转化”思想．不同于直接解决问题，构造法的巧妙之处在于怎样通过构造把原问题转化成一个新的辅助问题再求解．那么，如何借助构造法实现解题过程的转化呢？关键是对题设条件进行逻辑处理，巧妙地对问题进行分析与综合，构造出一种思维的创造物或想象物^[2].

构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它属于非常规思维．用构造法解题，常使数学解题由难变易，但它没有一个绝对统一的模式，没有通用的构造法则和完全固定的模式可以套用^[3]．但归纳起来，构造法解题过程大致可概括为：

2 构造法在数学解题中的应用

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法解题时，一要明确构造的目的，即为什么构造；二要弄清问题的特点，以便依据特点、确定方案、实现构造、达到目的^[4]．

下面从构造代数式、函数、方程、数列、恒等式、几何图形、反例及数学模型等方面讨论构造法在数学解题中的应用．

2.1 构造代数式法

代数式是数学的重要组成要素之一，在求解某些数学问题时，当题目中数字较大时，往往可以探索构造适当的代数式，通过化简得到更一般化的结论，从而能更迅速地解决所求问题．

1. 计算．

分析 题目中数字较大，运算繁琐，不易发现隐含的一般性质，可构造代数式，用代替计算，化简后再具体求解^[5]．

解 令,则，

例2 求证：是完全平方数．

解 考虑一般化处理，构造代数式，则

为完全平方式．

回到原问题，得

为完全平方式．

2.2 构造函数法

许多数学问题或实际问题，它们的数学模型为函数．在解题过程中，若能巧妙地构造辅助函数，将问题转化为函数问题来解决，常常可以使问题得到简化．

例3 已知，求证：．（第15届俄罗斯数学竞赛题）

分析 此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明．若把左边的代数式看作关于的函数，则可利用函数的图象及性质来证明，于是得到如下证法．

证 构造函数

．

因为，所以

，

，

而是一次函数，其图象是直线，所以当时恒有，即

．

整理可得

．

例4 ,求证：

.

分析 不等式两边结构相同，其模型为函数

．

于是原不等式即为

由于有，又易知在和内均为增函数，因此有

,

即有

．

2.3 构造方程法

方程通常与函数等相关知识紧密联系，在一定程度上，可利用问题中所给的数量关系和结构特征，通过设想建立一种等量性的式子，分析几个未知量之间的相互联系及方程式等量关系，利用恒等式的多方位变化，将问题中的抽象内容实质化、特殊化．

例5 已知，其中都是实数，则的最大值为_________．(1987年江苏省初中数学竞赛题）

分析 设法构造一个一元二次方程，使以其系数或常数形式出现，再由得到不等关系．

解 设，由，得 (1)

，

即

，

于是有

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