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摘 要

关键词：抽屉原理，抽屉，构造法，解题

Abstract: Drawer principle is an important principle in mathematics, it has been widely applied to solve some existence problems. In this article, we summarize several common forms of the drawer principle. On this basis, basic methods and skills will be discussed when we apply draw principle to solve problems. At last, we will conclude the general steps of using drawer principle to solve problems.

Keywords: drawer principle, drawer, method of structure, solutions of problems

目　录

1 抽屉原理及其几种常见形式 4

1. 1 抽屉原理的简单形式 4

1. 2 抽屉原理的一般形式 4

1 .3 抽屉原理的加强形式 4

2 应用抽屉原理解题的基本思路 5

3 抽屉原理的常见题型与特征 5

4 构造抽屉的方法与技巧 5

4.1 利用余数分类构造抽屉 6

4.2 利用划分图形构造抽屉 7

4.3 利用等分区间构造抽屉 9

4.4 利用分组构造抽屉 11

4.5 利用奇偶性构造抽屉 12

4.6 利用状态构造抽屉 13

结 论 15

参 考 文 献 16

致 谢 17

1 抽屉原理及其几种常见形式

抽屉原理起源于一个非常简单明了的事实，就是如果桌子上有3个苹果，要把这些苹果放入到2个抽屉里面，不管怎么放，都会发现至少有一个抽屉里面至少放了两个苹果．抽屉原理也叫做鸽笼原理、重叠原理、鞋盒原理，是重要的数学原理之一，它是由德国著名的数学家狄利克雷最先发现的，因此也叫做狄利克雷原理．抽屉原理常被用于证明某些存在性及必然性问题，在数论、组合数学及许多其它数学分支中都有着广泛的应用．应用抽屉原理还可以解决生活中遇到的一些有趣问题．目前关于抽屉原理方面的文献不少，但对应用抽屉原理解题的方法与技巧进行较为系统、深入地探讨仍很有必要，本文主要讨论构造抽屉的方法与技巧．下面首先给出抽屉原理的几种常见形式．

1. 1 抽屉原理的简单形式

定理1^[1] 将件物品按任何方式放入只抽屉，则至少有一只抽屉里放有两件或两件以上的物品．

推论1^[2] 如果个物体被放进个抽屉里，则必有一个抽屉包含两个或者更多的物体．

1. 2 抽屉原理的一般形式

定理2^[3] 如果将个物体放进个抽屉里，则必有一个抽屉，在该抽屉里至少有个物体．

1 .3 抽屉原理的加强形式

定理3^[4] 把件东西放入只抽屉里，那么或在第一只抽屉里至少放入件东西，或在第二只抽屉里至少放入件东西，···，或在第只抽屉里至少放入件东西．

推论2^[2] 如果将个物体放入个盒子，则至少有一个盒子中有个或更多的物体．

推论3^[2] 假设都是正整数，如果，则中至少有一个数不小于．

推论4^[5] 设有无穷多个元素按任一确定的方式分成有限个集合，那么至少有一个集合含有无穷多个元素．

应用抽屉原理具有把所要研究的问题来缩小范围的优越性，使其在一个特定的小范围内深入研究，应用抽屉原理来解题只能对“存在···”、“总有···”、“至少有···”等进行肯定和否定，却不能计算出各个抽屉里物体的具体数量．

2 应用抽屉原理解题的基本思路

应用抽屉原理解题时，首先要根据题目的自身特点，分析题意，分清楚“物体”与“抽屉”，然后根据题目的条件并结合相关的数学知识，分析相应的最基本的数量关系，设计并计算出解决问题所需要的抽屉与抽屉的个数，构造出合适的抽屉；最后应用相关的抽屉原理，解决问题．

3 抽屉原理的常见题型与特征

抽屉原理常常结合代数、数论、几何等问题出现．例如，距离问题、面积问题、整除问题 、染色问题、 分组问题、生日问题等都常用抽屉原理来解决．

一般来说，适用抽屉原理的问题通常具有以下特征：

(1)抽屉中元素的放置具有任意性，也就是说抽屉中元素的个数是任意的，甚至可以空着．

(2)问题的结论是存在性的命题，题中常含有“至少有···”、“一定有···”、“不少于···”、“存在···”、“必然有···”等词句，其结论只要具有存在性，不需要明确找出第几只抽屉放入多少件“物体”．

4 构造抽屉的方法与技巧

对于一些能够应用抽屉原理解决的数学问题，问题中给出的元素是多种多样的，有的是具体的实物，有的是数字、图形、符号等其它形式．因此，在应用抽屉原理解题时，需要根据问题自身的特点，有目的地对问题中的元素进行划分，构造出合适的抽屉．一般来说，线段与平面图形的划分、数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色等，都可以作为构造抽屉的依据．

4.1 利用余数分类构造抽屉

在处理自然数问题时，可将整数按照余数相同来进行分类．因此它们除以某数后所得余数相等是这类整数的共同特征．当我们证明有关整数问题时，这些分类所包含的不同集合就是所需要构造的抽屉．

例1 证明：任取个自然数，一定有两个数的差是的倍数．

证明 根据上例可知任意自然数被整除的余数共有种，因此可以把所有的自然数分为类：余数是0的自然数，余数是1的自然数，···，余数是的自然数．因此就可以把这类看成个抽屉．任取个自然数，必有两数在同一个抽屉里面，即两个数除以的余数相同．故两数差为的倍数．

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