微分中值定理在求极限中的应用

论文总字数：4635字

摘 要

关键词：微分中值定理，拉格朗日中值定理，泰勒中值定理，极限

Abstract: Differential mean value theorems, especially Lagrange’s mean value theorem and Taylor’s mean value theorem, are extremely significant in the application of limit operation. In the article, we focus on discussing the extensions about the two theorems. Moreover, we give out some examples of their application.

Keyword: differential mean value theorem, Lagrange’s mean value theorem, Taylor’s mean value theorem, limit

目 录

1 引言及预备知识……………………………………………………………4

1.1 引言…………………………………………………………………………4

1.2 预备知识……………………………………………………………………4

1.2.1 拉格朗日中值定理………………………………………………………4

1.2.2泰勒中值定理…………………………………………………………4

2 定理及证明…………………………………………………………………4

2.1 拉格朗日中值定理在求极限中的推广……………………………………4

2.2 泰勒中值定理在求极限中的推广…………………………………………6

3 例题…………………………………………………………………………9

例1………………………………………………………………………………9

例2………………………………………………………………………………9

例3………………………………………………………………………………9

结论………………………………………………………………………………11

参考文献…………………………………………………………………………13

致谢……………………………………………………………………………14

1 引言及预备知识

1.1 引言

微分中值定理一般包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理与泰勒中值定理，微分中值定理的运用十分广泛，它架起了函数与导数关系的桥梁，为相关证明与计算提供了理论依据. 本文将主要讨论拉格朗日中值定理与泰勒中值定理在求极限中的一些应用.

1.2 预备知识

1.2.1拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数满足如下条件：

(i)在闭区间上连续；

(ii)在开区间内可导，

则在内至少存在一点，使得.

1.2.2 泰勒(Taylor)中值定理 设函数在的某邻域内具有直到阶导数，则对此邻域中的每一点，可表示为

（介于与之间）.

其中，称为拉格朗日型余项. 上式也称为在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒公式. 有时泰勒公式可以写成

.

称为在点处带皮亚诺型余项的阶泰勒公式.

当时，得到的泰勒公式也叫麦克劳林公式.（注：在求极限中，一般运用带皮亚诺型余项的阶泰勒公式）.

2 定理及证明

2.1 拉格朗日中值定理的推广

定理1 形如的极限，若函数满足如下条件：

(i)在包含的闭区间上连续；

(ii)在包含的开区间内有连续导数；

(iii)对于任意，有，，与在闭区间上连续，且，则

.

证明 由Lagrange中值定理，有

，

其中介于与之间.

由的连续性，有

，

即

.

定理2 形如的极限，若函数，满足如下条件：

(i)在包含的闭区间上连续；

(ii)在包含的开区间内有连续导数，且；

(iii)对于任意，有，，与在闭区间上连续，且，则

.

证明 由Lagrange中值定理，有

，

其中,介于与之间.

由,的连续性，有

，

即

.

定理3 形如的极限，若函数，满足如下条件：

(i)在包含的闭区间上连续；

(ii)在包含的开区间内有连续导数；

(iii)对于任意，有，，与在闭区间上连续，且，则

.

证明 由Lagrange中值定理，有

，

其中介于与之间.

由,的连续性，有

，

即

.

2.2 泰勒中值定理的推广

定理4 设在上存在三阶导数，且和存在. 则

，.

证明 根据Taylor公式，当时，在处的三阶导数是

，; (1)

在处的三阶导数是

，. (2)

将(1)式和(2)式相加，得

. (3)

由已知条件和存在，不妨设，. 对(3)式两边，同时令，可得

. (4)将，代入(4)式，化简得到. 又由Lagrange中值定理有

，. (5)

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