几类矩阵方程的解

论文总字数：4013字

摘 要

关键词：矩阵，矩阵方程, 矩阵的秩, 解

Abstract：In this paper, based on the nature of the matrix and the homogeneous linear equation solutions, summarizes several kinds of matrix equation solution to the criterion, and gives the solution of matrix equation.

Keywords：matrix，matrix equation, the rank of matrix, solutions

目 录

1 引言 ……………………………………………………………………………… 4

2 矩阵方程，的解 ………………………………………………4

3 矩阵方程的解 ……………………………………………… 8

4 矩阵方程的解 ………………………………………………10

5 矩阵方程的解 ………………………………………11

结论 ………………………………………………………………………………… 13

参考文献 ………………………………………………………………………… 14

致谢 ………………………………………………………………………………… 15

1 引言

矩阵方程，简单的说就是未知数为矩阵的方程.矩阵方程是数值代数的重要研究领域之一，在最优控制，统计分析，振动理论，结构动态设计等领域中有着十分广泛的应用，提出了各种类型的矩阵方程，因而对于他的求解就具有很重要的理论意义和很高的应用价值.

设为数域上的矩阵，为数域上的矩阵，是数域上的未知矩阵，矩阵称为矩阵方程的增广矩阵，记为^[1].

本文用表示矩阵的秩，用表示单位矩阵，表示矩阵的转置^[1].

2 矩阵方程,的解

定理1^[2] 矩阵方程有解的充要条件是.

证明 首先证明充分性 把矩阵分解成个线性方程组

,（=1,2,…,）,

其中为矩阵的第列，因为, 从而有解，记为，则由为列组成的矩阵

，

为的解.

其次证明必要性 由有解，设其解为,则的第列为线性方程组的解，从而方程组有解的充要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，即

,（=1,2,…,），

所以，即.

定理2^[2] 若且=时 则矩阵方程有唯一解.

证明 设为矩阵的列向量生成的子空间，,为的列向量，为的列向量.，所以线性无关，从是的一组基.又因 ，所以的每一列∈，从而能由的基线性表示，且表示法唯一.因此，矩阵方程有且仅有一个解.

定理3^[2]若=，则矩阵方程有无穷多解.

证明 因为=，所以可以经由初等行变换和前列的第一种初等变换，变为

，

的形式，此处的O为的零矩阵. 由线性方程组知识，可得矩阵方程 

，

与矩阵方程同解。上式等价于 =则=-,其中为矩阵,为矩阵,为矩阵,为矩阵.因为，则gt;0，所以存在，此时可以为任意的矩阵, 所以由=-可得有无穷解.

例1 设为3×4矩阵，又

=，=.

问：矩阵方程是否有解？有多少解？

解 由于=23，故有解且有无穷多解.

例2 设为2×2矩阵，又

=，=.

问：矩阵方程是否有解？有多少解？

解 因为=2=，故有唯一解.

例3 设

，.

求矩阵方程的通解.

解 首先对矩阵做初等行变换，使变成上三角矩阵

=

=.

很明显=2，故方程有解,取

，

有

，

接下来对

,

作初等列变换,

=,

经过列变换后，我们可得到

,

从而该方程的通解为

= .

其中是任意的2×3矩阵.

因为 ,由此得到类似的定理

定理4^[3] 矩阵方程有解的充要条件是与分块矩阵的秩相等，则

（1）当时，有无穷多解,

（2）当=时，有唯一解.

证明 设为矩阵的列向量生成的子空间，,为的行向量，为的行向量.，所以线性无关，从是的一组基.又因，所以的每一行∈，从而能由的基线性表示，且表示法唯一.因此，矩阵方程有且仅有一个解.

例4 设为2×3矩阵，又

==.

问：矩阵方程是否有解？有多少解

解 因为=3，所以有唯一解.

3.矩阵方程的解

为进一步讨论，先证以下

引理1 设为任意矩阵，为未知矩阵，则矩阵方程

必有解.

证明 设.若，则结论显然成立.故下设.于是存在与阶非奇异矩阵使

，

其中为阶单位矩阵.现在令

,

其中依次分别为任意的矩阵.

于是有

=

即为方程的解.

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