空间向量在立体几何中的应用

论文总字数：7918字

摘 要

空间向量在解决立体几何问题中有着广泛的应用，它将几何问题转化为向量代数问题，融合了数与形，使学生在解决立体几何问题时更加简洁方便，体现了向量方法在解决问题过程中的优越性和实用性．本文主要介绍空间向量在解决空间的垂直与平行、空间距离、空间角等立体几何问题中的运用．

关键词：空间向量，立体几何，空间向量法

Abstract:The space vector is widely used in solving problems of solid geometry, which turns ge-ometric problems into vector algebra problems by combining numbers and shapes. It not only r-eflects the superiority and practicality of vector methods in solving problems of solid geometry, but also enables students to solve problems more simply and conveniently. This article mainly in-troduces the application of space vector in solving problems of solid geometry such as spatial v-erticality and equilibrium,distance in space, space angle and so on.

Keywords:space vector, solid geometry, methods of space vector

目　录

1 引言…………………………………………………………………………………4

2 空间向量的概念及基础知识…………………………………………………4

3 空间向量法的优势及对策 …………………………………………………5

3.1 空间向量法的定义………………………………………………………… 5

3.2 空间向量法的优势…………………………………………………………5

3.3 空间向量法的对策…………………………………………………………6

4 空间向量法在立体几何问题中的应用……………………………………7

4.1 平行问题…………………………………………………………………………7

4.2 垂直问题………………………………………………………………………… 9

4.3 距离问题……………………………………………………………………… 10

4.4 角问题………………………………………………………………………… 13

结论………………………………………………………………………………… 16

参考文献…………………………………………………………………………… 17

致谢……………………………………………………………………………………18

1 引言

新课程标准中，几何教学着重强调了数形结合的重要性，而空间向量与立体几何是数形结合思想的重要体现之一．因此对于当前学习高中立体几何的学生而言，研究空间向量在解决立体几何问题中的应用具有重大的实用价值．本文将从如下几个方面来介绍空间向量在立体几何中的应用．

首先，介绍空间向量的概念和空间向量的基础知识．通过对空间向量的相关知识和运算的归纳，为后面对空间向量的运用奠定基础．

其次，介绍空间向量法的定义以及空间向量法的优势和对策．通过对空间向量法的定义和对策的总结，让学生对空间向量法的运用有大体上的了解．

最后，介绍运用空间向量法针对不同立体几何问题进行分类讨论，并举例论证．主要有空间的垂直问题、空间的平行问题、空间距离问题、空间角问题等几大类．通过对立体几何问题详细的分类和例证，加深学生对空间向量法的理解，为学生自主解决立体几何问题打下基础．

2 空间向量的概念及基础知识

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，常用、、，···等小写字母表示．

欲善其事，先利其器．只有掌握好向量运算的基础知识，才能熟练的解决立体几何问题．

设：，

1. 空间向量长度公式及空间两点间的距离公式：

，

．

1. 空间向量的数量积（内积）公式：

．

1. 空间向量的夹角公式：

．

4．空间向量的射影：在方向上的射影长度可表示为

．

1. 空间向量平行（共线）的充要条件：平行存在实数，使得存在实数，使得．
2. 空间向量共面的充要条件：，，存在实数，使得．
3. 空间向量垂直的充要条件：．
4. 空间直线的方向向量

　　　定义：与空间直线平行或共线的空间向量叫做该直线的方向向量．

　　　求法：设，是空间直线或与之平行的一条直线上的两点，则的方向向量为．

1. 空间平面的法向量

定义：与平面垂直的空间向量叫做该平面的法向量．

求法：利用空间平面的法向量垂直于该平面两个不共线的共面向量求解．

在平面内找两个不共线的向量，再设为所求的空间平面的法向量，则有方程组，解得其中一个变量与另外两个变量的关系，再给这一个变量在取值范围内任取一个非零常数，则得该平面的一个法向量．

3 空间向量法的优势及对策

3.1 空间向量法的定义

空间向量方法就体系而言，类似于代数运算，通过运算来体现立体几何图形的性质．空间向量法就是在立体几何图形中令一个适当的点作为坐标原点，建立相应的空间直角坐标系，再运用空间向量的坐标和数量积的相关运算来解决空间的垂直、空间的平行、空间距离、空间角等问题．

3.2 空间向量法的优势

立体几何是高中数学中研究空间几何图形的一个版块，学生在掌握了一定的立体几何定理和概念的基础上，通过对相应的几何图形的变换，运用逻辑思维能力以及一定的空间想象能力对空间几何图形的性质进行探索．由于该板块内容在对空间的垂直与平行、空间距离、空间角等问题进行处理时，需要熟练地运用和融合所学的定理以及相应的几何变换，还要具备一定的推理和空间想象能力，学生们往往很难操作，无从下手，甚至事倍功半．因此在学习立体几何的知识时，空间向量法给学生的学习带来了极大的便利．

在解决立体几何问题时，空间向量法的出现提供了一种全新的角度和思维方式．可以发现，诸多立体几何问题最终都可以转化为空间向量之间的计算，例如证明线线平行可以转化为证明两直线所在的向量平行（共线）．原本学生们使用的传统的几何方法在解决问题时既耗费时间与精力，又伴随着一定的随机性，这样转化之后，只需进行空间向量之间的计算即可，大大简化了解题中复杂的推理过程，可见空间向量法易于激发学生对立体几何学习的热情．当面对很多具有难度的立体几何问题时，只要运用空间向量法的相关知识对其进行适当的公式变换，就可以降低解题难度，轻松地处理．用空间向量法解决问题时既不要在几何图形中做辅助线又不需要证明过程，而且解题思路清晰，可见空间向量法具有较强的操作性．

对于当前学习高中数学的学生而言，掌握了空间向量法便大大降低学习立体几何的难度，既能认识了解空间几何图形的构造，又能运用自己比较擅长的代数运算方法来解决立体几何问题，一举多得．

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