论文总字数：5330字
摘 要
本文根据正定矩阵，引进了亚正定矩阵的定义，结合正定矩阵的一些性质，总结归纳了亚正定矩阵的若干性质。关键词：正定矩阵，亚正定矩阵，二次型
Abstract: In this paper, it has defined sub positive definite matrix according to the definition of symmetric positive definite matrix. It has summarized the nature of sub positive definite matrix.
Keyword: symmetric positive definite matrix, sub positive definite matrix, quadratic form
目 录
1 前言…………………………………………………………………………………………………4
2 几个引理……………………………………………………………………………………………4
3 亚正定矩阵的性质……………………………………………………………………5
结论 ……………………………………………………………………………………… 13
参考文献……………………………………………………………………………………14
致谢 ……………………………………………………………………………………… 15
1 引言
所谓级正定矩阵是指:级矩阵称为正定矩阵，如果是对称矩阵且对任意不等于零的向量，都有.
我们知道所谓正定实二次型是指：实二次型称为正定的，如果当且仅当时等号成立.
二次型的矩阵都是对称的，所以对任意的实对称矩阵都有对应的实二次型有
,，
所以可以看出来正定矩阵和正定二次型是存在一一对应关系的.然而在单独观察矩阵时，我们又可以发现存在部分矩阵虽然不是对称矩阵但也能满足正定条件.对于这一类矩阵的研究实际早已进行了.
1985年，Horn R.A和Johnson C.R在文献[2]中深入的研究了有关这类实广义正定矩阵的定义.1990年，屠伯埙在文献[3]中提到了亚正定矩阵的定义：
定义 级矩阵称为亚正定矩阵，如果有的实对称分支是正定矩阵.
本文引入如下记号：级矩阵的转置矩阵为；级矩阵的逆矩阵为；级矩阵的伴随矩阵为；级矩阵的行列式为；级矩阵的秩；的对称分支为；的反对称分支为.
2 几个引理
引理1 正定矩阵是亚正定矩阵.
证明 因为对任一正定矩阵有
,
所以
.
所以是正定矩阵所以可得是亚正定矩阵.
引理2 若是正定矩阵，则大于零.
引理3 若是正定矩阵，则是正定矩阵.
引理4 若是正定矩阵，则可逆且是正定矩阵.
引理5 若是正定矩阵，则是正定矩阵.
引理6 若是正定矩阵，则的实特征根大于零.
引理7 若是大于零的实数是正定矩阵，则是正定矩阵.
引理8 若、是同级正定矩阵，则是正定矩阵.
引理9 若是反对称矩阵则对任意的不等于零的向量有.
证明 因为是反对称阵所以
，
又因为对任意不等于零的向量有是一维的所以
,
所以
,
所以
2
,
所以对反对称阵任意不等于零的向量有
.
引理10 对任意的正定矩阵与反对称实阵，恒有，等号成立的充要条件是.
引理11 当实数足够大时，对实对称矩阵有是正定矩阵.
引理12 若是正定矩阵，是非奇异矩阵，则是正定矩阵.
3 亚正定矩阵的性质
性质1 若是亚正定矩阵，则对任意不等于零的向量,有.
证明 因为是亚正定矩阵时有是正定矩阵，所以对任意不等于零的向量有
，
已知对亚正定矩阵有任意的不等于零的向量有是一维的，所以
,，
所以
，
所以对任意不等于零的向量有.反之若对任意不等于零的向量有，因为是一维的，所以有且，所以
，
所以对任意不等于零的向量有
，
又因为是对称的所以是正定矩阵，根据定义可得是亚正定矩阵.
性质2 若是亚正定矩阵，则是亚正定矩阵.
证明 因为是亚正定矩阵,所以的对称分支是正定矩阵.因为
，
又因为是正定矩阵,所以是正定矩阵,根据定义可得是亚正定矩阵.
性质3 亚正定矩阵的特征值实部大于零.
证明 取级亚正定矩阵的任一特征根为，令是属于的特征向量则
,
将改写为
，
其中，是实列向量，所以
，
对比实部虚部有
，
，
两式分别左乘与所以有
，
，
两式相加化简可得
，
因为，不为零，是亚正定矩阵，根据性质1有
，.
且所以.即亚正定矩阵的特征值实部大于零.
性质4 亚正定矩阵的行列式大于0.
证明 设是亚正定矩阵的全部实特征根，；是亚正定矩阵的全部复特征根；1,2，；则
，
又因为，，所以.
性质5 若是亚正定矩阵，则可逆且是亚正定矩阵.
证明 因为是亚正定矩阵所以所以可逆且的对称分支是正定矩阵，所以对任意不等于零的向量，都有
，
剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5330字
该课题毕业论文、开题报告、外文翻译、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找;
