特殊的变系数微分方程的解法

论文总字数：5656字

摘 要

关键词：变系数微分方程，可解类型，通解

Abstract: This article offers several methods of solving variable coefficient first order and second order liner differential equations, and discusses a kind of solvable type for variable coefficient first order and second order liner differential equations.

Keywords: variable coefficient differential equations, solvable type, general solutions

目录

1 引言 4

2 一阶变系数微分方程的解法 4

2.1 几种特殊一阶变系数微分方程的解法 4

2.2 一阶变系数微分方程的一种可解类型 8

3 二阶变系数微分方程的解法 9

3.1 二阶变系数微分方程的一个可解类型 9

3.2 用降阶法求解二阶变系数微分方程 11

3.3 特殊二阶变系数微分方程的解法 13

参考文献 15

致谢 16

1 引言

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程.微分方程的解是一个符合方程的函数.微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题.物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解.此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用.数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的方向，但大多数都是关心微分方程的解.

众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数线性微分方程却很难找到一种普遍的方法.在探索求解的过程中，毛一波等人给出了一阶变系数高次微分方程的通解，姜嵛芃给出了特殊二阶变系数微分方程的通解或近似解的解法，张金战给出了求解二阶变系数微分方程的特解的方法.

  本文在文献[1-7]的基础上，对于一阶变系数微分方程,归纳几种特殊形式的一阶微分方程求解的一般步骤．对于二阶变系数线性微分方程，将给出一种可解类型，并归纳其解法，同时归纳降阶法求解的一般步骤，最后给出特殊二阶变系数微分方程的解法.

2 一阶变系数微分方程的解法

2.1 几种特殊一阶变系数微分方程的解法

一、对于一阶变系数微分方程

, (1)

其中为连续函数.

若函数，则(1)式变为

. (2)

而(2)为可分离变量方程，其通解为

,

其中为常数.

若函数，则(1)为一阶线性非齐次微分方程，其通解为

. (3)

归纳总结：在求解一阶变系数微分方程(1)式时，如，则对其进行变量分离，然后积分.如，则直接带进式(3)即可.

例1 求解方程

.

解 这显然是一个一阶线性非齐次微分方程。其中

,

.

利用公式(3)代入得其通解

.

二、对于Bernoulli方程

. (4)

在(4)两端除以，得

. (5)

再令

,

则，代入(5)式得

.

这样，就将其化成以为未知函数的方程.

例2 解方程

.

解 这是一个Bernoulli方程，两边同乘，得

.

令，代入有

,

这是一阶线性非齐次方程，利用(3)式得通解为

.

于是，原方程的解为

.

归纳总结：首先判断该方程是伯努力方程，然后化成(5)式，再令，则

,

这样原方程就变成关于的一阶线性非齐次微分方程，最后利用一阶线性非齐次微分方程的方法求解.

三、对里卡蒂方程

(6)

且和在区间上是连续的.

若已知里卡蒂方程的一个特解，则可求它的通解.

首先已知或观察可知是里卡蒂方程(6)的一个特解.令

(其中是新的未知函数).

代入方程(6)得到

(7)

又是里卡蒂方程(6)的一个特解，所以

代入到(7)得

或

,（）.

这是一阶线性微分方程，我们可以求出它的通解然后通过变换以及可得里卡蒂方程(6)的一个通解.

例3 解方程

. (8)

解 由观察可知是方程(8)的一个特解.

令

,

代入方程(8).

则有

. (9)

再令

,

则方程(9)变成

,

这是一阶线性非齐次方程，解为

,

则

.

综上得该方程解为

.

2.2一阶变系数微分方程的一种可解类型

变系数微分方程的可解类型为能求出解析解的微分方程.

对一阶变系数微分方程

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