关于Lucas数的广义组合数

论文总字数：5871字

摘 要

本文根据一般序列的广义组合数的定义，引进了Lucas序列的广义组合数，结合Lucas序列的相关性质，研究了关于的广义组合数，获得了一些关于的广义组合数的恒等式，推广了Diego marques和Pavel trojovsky一文中的相关结论，并讨论了当和的情况，得到了关于Pell序列的广义组合数和正弦三角序列的广义组合数的一些恒等式。

关键词:Lucas序列，广义组合数，Pell序列，正弦三角序列

Abstract:In this paper, based on the definition of generalized combinatorial number of the general sequence ,introduced the generalized combinatorial number of Lucas sequence ,combine the related properties of Lucas sequence, the generalized combinatorial number of were studied, some of the identities of the generalized combinatorial number of were obtained,the conclusions of the article was written by Diego marques and Pavel trojovsky were extended, the condition of and were discussed,obtained some identities of the generalized combinatorial number of the Pell sequence and the sine series .

Keywords:Lucas sequence,generalized combinatorial number,Pell sequence,sine series

目 录

1引言………………………………………………………………………4

2 的性质和相关引理…………………………………………………5

3 定理及推论………………………………………………………………9

结论…………………………………………………………………………14

参考文献……………………………………………………………………15

致谢…………………………………………………………………………16

1 引言

所谓Lucas序列和是指满足如下初值和递推关系:

(1)

(2)

在(1),(2)中,当时,一般地记,,就是著名的Fibonacci数,就是著名的Lucas数;当时,一般地记,,就是第一类Pell数列,就是第二类Pell数列;当时,,.

文[3]给出关于数列的广义组合数记号为:

,.

让,则有关于的广义组合数:

,.

并规定,若,.

文[5]中导出了如下的关于Fibonacci广义组合数的一个恒等式:

. (3)

文[6]中给出了如下关于Fibonacci广义组合数的一些恒等式:

,, (4)

. (5)

文[7]中得到了如下的关于Fibonacci广义组合数的恒等式:

, (6)

, (7)

. (8)

我们记的广义组合数为:

,.

并且,若,.

本文主要研究关于的广义组合数中的一些恒等式,推广Diego marques和Pavel trojovsky在文[4]中的相关结论.

2 的性质和相关引理

首先我们易知和的几个关系式:

(9)

(10)

(11)

(12)

. (13)

为了得到关于广义组合数的一些恒等式,我们给出三个引理:

引理1 设,为非负整数,有

. (14)

证明 由恒等式

其中

则有

将上式通分后,由(11)知

分子×

,

即

.

引理2 设为非负整数,有

. (15)

证明 由(9),(10),(11),(12)得到

,, ,

则

=

=

=

=

=

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