常数变易法在微分方程求解中的应用

论文总字数：7816字

摘 要

关键词 ：常数变易法，微分方程，通解

Abstract：Method of variation of constants is a very effective method and an important mathematical idea for solving differential equations,it has a wide range of application in solving linear first-order differential equation.This article will introduce that the application of the method of variation of constants in solving the first-order linear differential equation and higher order linear differential equations.

Keywords：Method of variation of constants, differential equations, general solution

目 录

1 前 言 ................................................................................................................ 4

2 常数变易法........................................................................................................ 4

3 一阶线性微分方程 .......................................................................................... 4

3.1一阶非齐次线性微分方程的常数变易法...................................................... 5

4 阶线性微分方程 ........................................................................................... 8

4.1二阶线性齐次微分方程的常数变易法.......................................................... 9

4.2二阶线性非齐次微分方程的常数变易法......................................................10

4.3 阶非齐次线性齐次微分方程的常数变易法..............................................12

结 论......................................................................................................................16

参考文献................................................................................................................17

1 前言

现在，常微分方程的应用非常广泛，而常数变易法是求解微分方程的一种重要的方法，这是拉格朗日研究了11年的成果.对一些特定的线性微分方程和高阶线性微分方程的求解问题，一般应用常数变易法对其求解.运用常数变易法来解微分方程一般有两种方法，一是利用常数变易法的基本思路步骤来进行求解，二是直接利用其推导出来的常数变易法公式来求解.很多学生在学习微分方程的求解时特别的吃力，其中最难理解的就是为什么要把任意常数变易成待定函数，从而求出原方程的通解.

常数变易法本质上也是一种变量代换的方法，用它来求解一阶线性非齐次微分方程与变量代换并没有原则区别，但是将它推广到求解高阶线性微分方程时，就显示出了它的无穷威力.它的优点在于比变量代换更容易掌握，运用更广泛.

当然就常数变易法来求解微分方程的过程来说，如果遇到较复杂的方程，那么对应的计算量就会加大.但常数变易法作为一种稳定的求解方法，其本身的思路已经是比较完善的了.

2 常数变易法

定义^[1] 在解一阶线性非齐次微分方程 的过程中，将其所对应的齐次线性方程的通解中的任意常数换成的函数，并设其为非齐次线性方程的解，即，再把代入原一阶线性非齐次微分方程中，解得的一种办法.

本质^[1] 常数变易法实质上是未知函数变量代换的过程，它们二者的本质是一样的，只是常数变易法中的变量代换更为复杂.常数变易法的目的是将原方程变换为只含与的方程，从而求出.在解具体方程时，不必记忆通解公式，可以按常数变易法的步骤来解.

3 一阶线性微分方程

定义^[2] 方程

（3.1)

称为一阶线性微分方程.它对于未知函数及其导数是一次方程，其中，都是的已知连续函数.

如果，则方程（3.1）成为

（3.2）

方程（3.2）称为一阶齐次线性微分方程.

如果不恒为零，则方程（3.1）称为一阶非齐次线性微分方程. 这时方程（3.2）称为对应于方程（3.1）的齐次线性微分方程.

3.1一阶非齐次线性微分方程的常数变易法

众所周知，一阶线性非齐次微分方程^[2]

（3.11）

（式中，均为某区间上的连续函数)的求解方法为常数变易法.求解过称为：先求出其对应的齐次方程

（3.12）

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