浅析行列式的若干应用

论文总字数：5587字

摘 要

关键词:行列式，线性方程组，平面几何，因式分解

Abstract:The determinant is an important method in the study of mathematics.It has a very wide range of applications.In the article, we can deepen and strengthen the understanding of the determinant through the application of determinant in three aspects of system of linear equations, elementary mathematics, geometry.

Keywords：Determinant, system of linear equations, geometry, factorization

目 录

1 引言……………………………………………………………………………3

2 预备知识………………………………………………………………………4

3 行列式在线性方程组中的应用………………………………………………6

4 行列式在初等代数中的应用…………………………………………………7

4.1 用行列式因式分解…………………………………………………………7

4.2 用行列式解方程 …………………………………………………………9

5 行列式在平面几何中的应用………………………………………………11

5.1 平面过定点直线方程问题………………………………………………11

5.2 平面三点共线问题………………………………………………………12

结论………………………………………………………………………………14

参考文献…………………………………………………………………………15

致谢………………………………………………………………………………16

1 引言

行列式应用于线性方程组的求根过程中，它最早是一种快速计算的表示方法，现在已经是数学中一种常见的方法.

因而行列式是线性代数的基础与中心部分，同时也是线性代数理论中及其重要的组成部分，是研究高等代数的一个重要工具，下面我们以线性方程组，因式分解，解方程，平面几何为例，进一步讨论行列式在线性方程组，初等数学，几何学中的运用.

2 预备知识

定义1 二阶行列式

,

三阶行列式

,

从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和,而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.因而可以定义

n阶行列式

等于所有取不同行不同列的个元素的乘积

的代数和，这里为的排列.每一项都按下列规则带有符号：

当为奇排列时带负号；当为偶排列时带正号.

即

,

这里表示对所有的级排列求和.

注： 行列式的值，常记为或；

中的数称为行列式处于第行第列的元素，指行指标，指列指标；

级行列式定义展开式中展开共有项.

定理1（克拉默法则） 如果线性方程组

的系数矩阵

的行列式

,

那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为

其中是把矩阵A中第列换成方程组的常数项所成的矩阵行列式，即

,

定理中包含着三个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式 给出.

另注意使用条件：方程的个数=未知数的个数.

定理2 如果齐次线性方程组

的系数矩阵的行列式,那么它只有零解.换句话说，如果方程组有非零解，那么必有.

3 行列式在线性方程组中的应用

解方程式是数学中最基本的一个问题，特别是在初中数学中，解方程占有及其重要地位，因此这个问题是大家所熟知的.但是很多从理论和实际问题里导出的方程组常常含有不止一个的未知数，现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题，在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形，以后会看到这是一个重要的情形.

线性方程组的一般形式如：

其中，表示未知数，表示未知数系数，表示常数项.

克拉默法则用于判断是有n个未知数的n个线性方程组解的情况.利用整这一法则，首先要将方程组的系数写成一个行列式，然后判断它的值是否为零.若不等于零，说明线性方程组有解，否则无解.

例1运用克拉默法则求解线性方程组:

解 ,

因此可用克拉默法则计算得

,

,

,

,

故方程组有解.

例2当k为何值时下列齐次线性方程组

有非零解.

解 根据定理2，如果方程组有非零解，那么系数行列式

所以.不难验证,当时,方程组得确有非零解.

克拉默法则的重要性主要在于它给出了解与系数的关系，这一点在线性方程组求解的讨论中是重要的，但用克拉默法则计算是不简洁的，因为按这一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算n 1个n级行列式，这个计算量是很大的. 

4 行列式在初等代数中的应用

4.1 用行列式因式分解

因式分解是初中代数中极其重要的恒等变形之一，因此常常被应用于初中代数之中，是我们解决很多初中数学问题的常用途径．因而常常被应用于初等数学解高次方程、求根、作图等各个方面，下面我们将从行列式的思维来解决因式分解的题目.

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5587字