矩阵对数

论文总字数：9396字

摘 要

常微分方程是本科数学专业的一门专业基础课程,其中求解常系数线性齐次微分方程组时,用到矩阵指数,从而让人联想到矩阵对数.本文给出了矩阵指数的定义、性质、计算方法及其应用.继而引申到矩阵对数的学习,本文将结合实例,利用常微分方程中所学的矩阵指数的方法研究给出矩阵对数的定义,并尝试运用数学软件对矩阵对数进行了计算.

关键词：矩阵指数,矩阵对数,矩阵平方根

Abstract:Ordinary differential equation (ODE) is a professional basic course in mathematics at undergraduate level, it’s matrix exponential which is used in solving homogeneous linear differential equation group reminds me of matrix logarithm. This paper provides the definition, property, computing method and application of the matrix exponential. To extend it to the learning of logarithm of a matrix, this paper will combine some practical examples to explore the definition of matrix exponential by using the matrix exponential methods learned from the ODE, and try to use the mathematical software to calculate the matrix logarithm.

Keywords：matrix exponential, logarithmic matrix, matrix square root

目 录

引言 4

第一章 矩阵指数 6

1.1 矩阵指数的定义 6

1.2 矩阵指数的性质 6

1.3 矩阵指数的计算 7

1.4 矩阵指数的应用 10

第二章 矩阵对数 13

2.1 矩阵对数的概念及其存在条件 13

2.2 矩阵对数和平方根 14

2.3 反scaling and squaring算法计算矩阵对数 14

2.4 MATLAB计算矩阵对数 16

结 论 18

参 考 文 献 19

引言

矩阵指数是一类重要的矩阵函数,它的运算与许多科学计算有关,如：力学计算中的动力学问题、最优控制的计算问题等.求矩阵指数时,运算量大而且复杂是计算数学中的一个较难的课题,研究矩阵指数的计算方法具有重要意义.[4]

常微分方程是数学专业本科的一门专业基础课,其中求解常系数线性齐次微分方程组时,用到矩阵指数,从而让人联想到矩阵对数.本文给出了矩阵指数的定义、性质、计算方法及其应用.首先本文给出矩阵指数的定义.设,那么称含有参数的矩阵幂级数为矩阵的矩阵指数,我们把它记为.特别的,若,则.其次,我们发现矩阵指数的性质与指数的性质相类似,比如：...如果,那么.如果是可逆的,则.

许多学者对矩阵指数的计算方法进行了讨论[3]；张俊祖给出了计算矩阵指数的一种新方法[5]；杨开春等讨论了矩阵数函数的一种计算方法[6].目前问题的研究方向多为系统地分析矩阵指数的计算方法及应用.本文介绍矩阵指数的相关概念和两种计算矩阵指数的方法,每种方法都给出了理论基础、求解步骤、实例演示和方法评析.[4]

第一种方法是定义计算法,所谓的定义计算法就是直接按照矩阵指数的定义式来求解,将应用矩阵方幂和矩阵幂级数的理论求出个幂级数,从而求出矩阵指数的方法.这种方法步骤简单,便于编程计算,适合用计算机计算.但是这种方法也有其局限性,通常我们只能得到的数值结果,一般比较难得到它的函数表达式.如今计算机技术飞速的发展,矩阵指数的计算已经可以在一些数学的软件上轻松的实现.

第二种方法是化为约当标准型或者对角标准型法.这种方法就是将矩阵化为约当标准型或者对角标准型,然后再求出约当标准型或者对角标准型的矩阵指数,再用矩阵指数的性质求出矩阵指数. 这种计算方法求得的结果比较精确,而且这种方法不但适用于计算机编程,还适用于手工计算,并且计算出来的结果是解析表达式.但这种方法也存在其局限性,解题的过程中需要求解非奇异矩阵的逆,如果阶数比较高的话,计算量会非常大.

本文通过对矩阵指数的概念、性质、计算及应用的研究引入了矩阵对数,从而对矩阵对数进行深入的研究与发现.

首先,本文介绍了矩阵指数的定义,即给定矩阵,矩阵指数方程的解集或者通解,用表示,如果非空,则称有对数矩阵,并且把叫做矩阵的对数.以及矩阵对数存在的条件,即一个矩阵有对数矩阵,即非空的充要条件是它与某个正实化Jordan(若尔当)式矩阵相似.[8]

其次,本文介绍了矩阵对数的反scaling and squaring算法的基本思想.反scaling and squaring算法是计算矩阵对数的有效方法.其思想是利用等式,先逐次精确计算矩阵平方根（给定一个矩阵,若存在,使得有成立,则我们就把称为的平方根）.当靠近单位矩阵时,利用逼近估计,进而计算.反scaling and squaring算法的主要工作量是逐次计算矩阵平方根.[7]

本文还介绍了一种计算矩阵的简便工具——MATLAB.我们可以通过MATLAB运用代码很快的计算出一些简便的矩阵运算,比如：求已知矩阵的逆矩阵、矩阵的秩、矩阵的三角分解等等.[10]

最后,本文用Matlab对给定矩阵用DB迭代和逼近的方法计算矩阵的矩阵对数.

第一章 矩阵指数

本章我们将介绍矩阵指数的相关知识,为之后的矩阵对数的讨论奠定基础.

1.1 矩阵指数的定义

本节主要介绍矩阵指数的定义,其中涉及指数函数和幂级数.我们首先给出矩阵幂级数的确切定义.

定义1.1.1：设数列是复数域上的无穷数列,,那么我们称为矩阵幂级数.

矩阵幂级数包含着个级数,当且仅当其中的每一个级数都收敛时,矩阵幂级数是收敛的.特别的,对任意的(为复数),矩阵幂级数是绝对收敛的.

定义1.1.2：设,那么称含有参数的矩阵幂级数为矩阵的矩阵指数,我们把它记为.

特别的,若,则.如果我们把它实际应用到工程领域中,那么矩阵多为实矩阵,参数则多为时间变量,在以下的内容中,我们假定矩阵均为实矩阵,参数为实数变量.

1.2 矩阵指数的性质

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