变量变换法在求解一阶常微分方程中的应用

论文总字数：4514字

摘 要

关 键 词：微分方程，变量变换，解法

Abstract：Variable transformation method is an auxiliary method for solving ordinary differential equations, which enables to simplify the problem. This paper explains the variable transformation method which used in solving differential equations by giving examples of several types of equation.

Keywords：Differential equations, variable transformation, solution

目 录

1 前言 4

2 变量变换法在解常微分方程的几种类型的应用 4

2.1 齐次方程 4

2.2 一阶线性微分方程 9

2.3 伯努利（Bernoulli）方程 10

2.4 黎卡提( Riccati )方程 12

2.5　 一些特殊类型的一阶常微分方程 13

结论 16

参考文献 17

1 前言

常微分方程就是包含有单变量的未知函数及其导数的方程,通常分为线性与非线性两大类,是数学专业的一门重要的基础课,本文就变量变换这种辅助解法进行讨论,阐述其在求解微分方程中所起的重要作用.

2 变量变换法在解常微分方程的几种类型的应用

2.1 齐次方程

如果一阶显式方程

（1）

的右端函数可以改写为的函数，那么称方程（1）为一阶齐次微分方程.

形如

， （2）

的方程为准齐次方程,其中 均为常数.

当时，方程(2)可化为,作变量变换可化为变量分离方程，从而可解.

例1 求解方程 .

解 方程化成,

令代入上式得

,

即

,

易于看出，为这方程的一个解，从而为原方程的一个解.

当时，分离变量得

.

两端积分得

,

即

,

将换成，并解出，变得到原方程的通解

.

例2 求方程的通解.

解 方程改写成

,

即

,

令，有

，

整理得

（0 , 1）.

积分得

,

即

=，

代回变量，得原方程的通解为

.

当行列式 ，亦即时，原方程化为

.

作变量变换：，可把上述方程转为关于, 的变量分离方程, 从而可解.

例3 求方程 的通解.

解 方程可化为，令,

有

,

分离变量

,

积分得

,

代回变量得通解：

.

例4 求方程的通解.

解 方程改写为

,

令 ,有

,

分离变量得

,

积分得

,

代回变量得到通解：

.

当行列式 且 时，联立方程组，令其解为 (,)，作变量变换将方程其化为以为未知函数,以为自变量的齐次方程

,

再经过变换，可将齐次方程化为可分离变量方程，从而得解.

例5 求方程的通解.

解 方程改写为

,

因为,即可令,解得.作变换，,有

.

再令，上述方程可化为

,

整理得

,

积分得

,

代回变量得通解：

.

例6 解方程.

解 因为 ,方程组，有解.令，代入原方程得到新方程

.

令代入上式，又得到新方程

.

当时，整理得

,

积分得

，

即

或 .

以代回，即得原方程的通积分

.

当时，解得，还原后又得到原方程的两个解:

和 .

例7 求方程的通解.

解 方程改写为

.

令，则

.

再令 得 ，作变换,则上述方程化为

.

再作变换，则方程化为

，

积分得

.

代回原变量，得原方程的通解：

.

2.2 一阶线性微分方程^[1,2]

形如

的方程称为一阶线性微分方程.

当时，

是一个变量可分离方程，易知它的通解是：

.

作变量变换 ，以此作为原方程的解,其中待定.代入原方程中得变量分离方程

即

，

积分后得

，

进而求得原方程的通解.

例8 求解方程 .

解 显然，这是一个一阶线性非齐次方程.

先求对应齐次方程

,

的通解为 .

由常数变易法，令

.

为原方程的解，代入原方程有

.

即

.

积分得

.

代回后得原方程的通解为：

.

例9 求解方程 .

解 原方程对应的齐次方程的通解为 .

由常数变易法得原方程的一个特解为,

则原方程的通解为：.

例10 求解方程 .

解 原方程对应的齐次方程 的通解为 .

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