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摘 要

关键词：介值定理，根的存在定理，应用

Abstract：With examples, the author summarizes the general solution and application methods systematically borrowed by the intermediate value theorem, the existence theorem of root and its converse proposition in judging the existence of the equation root, inequality, prove equation and the actual problem．

Keywords：intermediate value theorem,the existence theorem of root,application

目 录

1 引言 4

2 介值定理的内容 4

3 利用介值定理判断方程根的存在性 4

4 介值定理在解不等式中的应用 6

5 介值定理在证明等式中的应用 8

6 介值定理在实际问题中的应用 10

结论 13

参考文献 14

致　谢 15

1 引言

介值定理，又被叫做中间值定理。介值定理是在闭区间上的连续函数的重要性质之一，一般来说学者大多通过有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明这一定理．在这里，“介值定理”的几种证明方法本文将不再过多地进行赘述．而由于通过介值定理学者能够十分有技巧性且十分有效地解决许多问题，所以“介值定理”在各方面的应用都十分广泛．比方说我们可以借由“介值定理”来证明“根的存在性”、证明一些等式、不等式以及解决实际问题等．

介值定理被广泛地应用于连续函数的证明中．比如判断方程的根是否存在的问题、求解不等式的问题、以及证明一些等式和解决现实中的一些实际问题等．

2 介值定理的内容

定理^[1] 设函数在闭区间上连续，且；设为介于与之间的任何实数（或）,则至少存在一点,使得

．

此定理说明，假如函数在区间上是连续的，这里我们不妨设，那么函数在区间上一定可以取得区间上的所有值，故而有

．

推论（根的存在定理） 若函数在闭区间上连续，且与异号（即），则至少存在一点，使得

．

也就是说方程在内最少会有一个解．根的存在定理也被叫作零点定理．在下文的例题的求证中，我们将会多次利用根的存在定理（亦作零点定理）以证实例题中的结论，而且介值定理我们也还会通过根的存在定理来证实．

3 利用介值定理判断方程根的存在性

在证明一些方程解的存在性时，我们通常不能选用先求解，求解后再说明方程的解存在的办法．首先如果没有给出详细的方程，求解对我们来说通常并不容易，甚至十分困难．其次就算把方程告诉了我们，假设方程格外繁杂，那么根的存在性证明也十分困难．而如果我们利用介值定理或推论（根的存在定理）就能很轻易地得出存在使函数值为零的点，也就是能够得到存在使方程成立的方程解的结论．在判断方程根的存在性上的题目我们通常会运用介值定理正式因为如果利用介值定理我们就可以清晰地判断出根的存在情况．

例1^[3] 证明方程至少有一个正根，且不超过．

证明　设，由已知可得：

,即．

因为所以，考察

，

　　　　　　　，

当时，至少存在一个正根，使；

当时，不妨只考察，因为，并且

，

所以至少存在一个正根，使．

因此，方程至少有一个正根，且不超过.

例2 证明：若，为正整数，则存在唯一正数，使

．

证明 先证存在性．由于当时，有，故必存在正数，使得.

　　因在上连续，并有，故由介值定理，至少存在一点

，使得．

再证唯一性．设正数使得，则有

．

由于第二个括号内的数为正，所以只能,即．

例3 设在闭区间连续，满足．证明：存在，使得．

证明 由条件知：对任何有，特别有

以及 ．

若或，则取或，从而成立．

现设与 令

，

则

．

故由根的存在性定定理，存在使得即．

4 介值定理在解不等式中的应用

我们该当都知道，倘若原命题成立，则这个命题的逆否命题也必然成立的，故而我们不需要对逆否命题进行证明，事实上我们在利用介值定理解决解不等式的问题时，并非直接利用“根的存在定理”，却是应用的“根的存在定理”的逆否命题．接下来我们将给出根据根的存在定理得到的逆否命题和推论命题．

设函数在某一区间(也可指、、)内有定义且连续．

(1)(1)（根的存在定理——逆否命题）假如方程在内没有根，那么函数的值在内就应保持相同的符号（正号或者负号)；

(2)假如方程在内全部的不相同的根为同时又有，那么这个根必然会将区间分成个小的区间 ，而在每个这样的小区间里面，函数的值的正负符号应当保持相同．

由此我们知道，我们仅仅需要逐一的检察每一个小区间内的符号，即可以判定不等式 (或)的真假性．因为在(2)中的每一个小的区间里面的所有值，不等式(或)只能恒真，或者恒假．从而，我们就能够得到不等式 (或)在区间I内的所有解．

例4^[4] 解不等式(第四届国际数学奥林匹克试题)

解 因为原不等式的定义域为，通过考察我们知道方程解为

，．

这两个根将定义域分成三个小区间：、、．

因为在区间内，若取，则有左边，所以原不等式为真．

因为在内，若取，则有左边，所以原不等式为假．

因为在内，若取，则有左边，所以原不等式为假．

故而原不等式的解集为．

通常情况下无理不等式可以进行“两边平方”的变形，但是这种情况只是在一定条件下才算得上是等价的变形，故而我们必须就的不同取值范围进行讨论，但是如此一来在计算上就会相当费力．若我们利用“介值定理”进行计算就会让计算变得十分简单并且方便学者理解．

例5^[4] 解不等式．

解 设原不等式等价于不等式)．

的定义域为 , 解方程，得方程解，

将定义域分成三个小区间 列表如下：

表2-1

所以，原不等式的解集为．

通过此例可以看出, 把介值定理作为基础, 分割不等式的定义域成若干个小的区间, 然后再找出不等式解集的方法是解不等式解集非常实用的方法．

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