论文总字数：7449字

摘 要

关键词:连续，离散，时标，闵可夫斯基不等式，对数凸函数Jensen不等式

Abstract: The theory of time scales unifies the continuous results and the corresponding discrete owes. In this paper , we first introduce some concepts of the theory of time scales. After this, the Minkowski’ s inequality of continuous type and discrete type, and the logarithmically convex functions Jensen’s inequality of continuous type and discrete type are generalized to time scales, respectively.

Keywords: Continuous, Discrete, Time scales, Minkowski’ s inequality, logarithmically convex functions Jensen’s inequality

目 录

1 引言 4

2 预备知识 5

3 时标上的闵可夫斯基不等式 6

4 时标上的对数凸函数Jensen不等式 9

结束语 13

参考文献 14

致谢 15

1 引言

德国数学家Hilger于1988年首次提出时标理论.时标理论在离散分析和连续分析之间架起了一座桥梁.所谓时标，就是指实数集上的任一非空闭子集.若选择的时标是实数集，它就是一般的微分方程，若选择的时标是整数集，它就是差分方程.

近年来，时标上的微分方程的研究得到了较快的发展.所采用的研究方法，就是把微分方程的研究方法和差分方程的研究方法进行比较、统一，从而推广到时标上.如时标上动力方程理论不但可以统一微分方程和差分方程，更好地洞察二者之间的本质差异，而且还可以更精确地描述那些有时随时间连续出现而有时又离散发生的现象.

在探讨时标上的动力方程的同时，人们所熟悉的基本工具，例如，费马定理，罗尔定理和介值定理等都不再适用，与此同时，很难再找到适用不同时标的模拟程序.这些问题，为时标的研究带来很多的问题，但是广大学者却对此产生了浓厚的兴趣，进行钻研.学者们对时标上动力方程的解、动力方程的边值问题等都进行了深入研究.

连续和离散原本是微积分学中的一对矛盾，但是现在我们可以借助时标，在离散分析与连续分析之间，建立一座桥梁.所谓在某一点上连续，就是对于该点，无论给定一个多么小的正数，总能在定义域内找到一点，它的函数值到该点的函数值距离小于给定的数.而离散与连续恰好相反,离散是孤立的点集，不像区间，它在每一点上都是连续的，而像整数集，它的每一元素之间都有一定的距离.连续和离散原本是微积分学中的一对矛盾，但是现在我们可以借助时标，在离散分析与连续分析之间，建立一座桥梁.

时标理论也具有很重要的应用价值，例如，不同季节的昆虫种类的活动期和休眠期可以用时标上的动力方程来描述.除此之外，在生物学、工程学、经济学、物理学、社会科学、神经网络等领域也有广泛的应用.正因为时标理论有着广泛的应用，所以近年来许多科学家进行了相关的研究.例如,时标上的函数理论(如[12])，一些定积分不等式在时标上的推广(即如[1],[3],[4],[5]),二重积分在时标上的变差演算(即如[7])等.

本文结构安排如下，第1节主要介绍时标的相关研究背景；第2节是预备知识，给出时标的定义、推论及一些相关的定理；第3节是时标上的闵可夫斯基不等式，介绍了闵可夫斯基不等式的一般证明方法，给出了闵可夫斯基不等式特殊形式的证明方法，并将其推广到时标上去；第4节是时标上的对数凸函数的Jensen不等式，介绍了Jensen不等式的一般证明方法，并试图证明时标上的对数凸函数的Jensen不等式.

2 预备知识

定义2.1 设为一个时间测度，它是实数域的任意非空闭子集,对任意,映射，定义为

,

则称为前跳算子；而后跳算子，定义为:

.

Graininess函数(前跳距离)定义为:

．

对任意一个，若，则称是右离散的，若，则称是右致密的；对于一个，若，则称是左离散的，若，则称是左致密的；的两侧同时为离散点时，则称是孤立点．

定义2.2 设函数，存在，对任意，存在的邻域(即)，对一切都有

成立．则称函数在可微，并称为函数在的导数，记为．

定义2.3 设函数，若它在中的一切右致密点上连续，且在一切左致密点上它的左极限存在且有限，则称函数为正则连续函数，也叫连续函数．连续函数的集合，记为:

.

引理2.1 设一个常数，,则下列命题成立:

；

；

；

；

若对任意的，都有，则．

引理2.2 设，函数，则下列命题成立:

若，则有

,

其中等号右边的积分通常是黎曼积分．

　　 若只包含离散点，则有

.

若，其中，则有

.

若，则有

.

引理2.3 令,设,且，为上的凸函数，则

.

3 时标上的闵可夫斯基不等式

引理3.1^[6] 设在上可积，，则

.

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