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摘 要
不等式与数列结合的综合题是近几年高考的热点，本文主要以高考题为例分析不等式与数列结合问题的解决方法和技巧.关键词：数列， 不等式，放缩法，数学归纳法
Abstract: The inequality combined with columns’ comprehensive problem is a hot spot of the College Entrance Examination in recent years. In the paper, we took entrance examination questions for examples to analyze solving solutions and techniques of those problems.
Key Words: sequence, inequality， zoom method， mathematical induction
目 录
1 引言…………………………………………………………………… 4
2 利用重要不等式的结论解决不等式与数列结合的综合问题……… 4
3 用放缩法解决不等式与数列结合的综合问题……………………… 7
3.1 通过放缩转化为等差等比数列的求和形式……………………… 7
3.2 通过放缩转化为用裂项相消求和………………………………… 11
3.3 通过添减项进行放缩……………………………………………… 13
3.4 通过分类讨论的方法进行放缩…………………………………… 16
4 用数学归纳法解决不等式与数列结合的综合问题………………… 19
结论……………………………………………………………………… 22
参考文献………………………………………………………………… 23
1 引言
数列和不等式是高中数学的重要内容，具有重要作用和地位.数列与不等式结合的综合题是近几年高考的热点，这类题目的整合性、综合性强，解题方法复杂多样，对学生的综合能力要求较高，考查了学生对此知识的融合与迁移，灵活变通能力，学生的数学视野的广度和进一步学习数学的潜能.因此学生不仅要有扎实的数列和不等式的基础知识，还要熟练掌握各自特点及其结合点的精髓. 在数列与不等式结合的综合题中，数列参与的不等式的证明问题考的次数最多.数列型不等式的证明题，因其构造性强、思维跨度大、考点范围广，需要有较高的放缩技巧和对知识的整合综合能力，对学生来说充满思考性和挑战性，从而能综合全面地考查学生的潜能与后继学习的能力.通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩，需要明确了解高考趋势中考察的重点难点问题，掌握蕴含在数列与不等式结合中的思想方法和技巧，通过深入分析和实践，加强对此知识的综合运用并理解其内在联系的，这与新课改中的提升学生综合能力是相吻合的.
本文主要以高考题为例分析不等式与数列结合问题的解决方法和技巧，从利用重要不等式的结论，放缩法，数学归纳法等一类解决这类综合题的思想方法，力求使读者能利用本文的指导思想摸索解决这类综合题，掌握高考中数列与不等式的解题规律，更好的应对高考.
2 利用重要不等式的结论解决不等式与数列结合的综合问题
以下列举本文中需用的几个不等式的结论.
定理1[1] 对于，，有，当且仅当时取到等号.
定理2[2] 对于个正数，则称，，，分别为个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均，且有不等式
，
等号成立当且仅当时成立.
定理3[3]（伯努利不等式）对于为正整数，有
.
定理4[4]（柯西不等式）对于，，有
.
定理5[4] 对于，，，，有
.
例1[5] 已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（I）设，，求证：数列是等差数列；
（II）设，，且是等比数列，求和的值.
解 （I）由题意知
，
所以
， ，
故数列是以1为公差的等差数列.
（II）因为0，0，由均值不等式和基本不等式可得
，
则
，
再由是等比数列利用反证法可证明，所以.从而
.
注 本题巧妙地运用了均值不等式
和常见的基本不等式
，
把目标答案放缩在一个范围之内，简化了解题复杂度.
例2[6]已知，为正整数.
（I）用数学归纳法证明：当时，；
（II）对于，已知，求证：，；
（III）求出满足等式的所有正整数.
解 （I）略.
（II）当，时，由（I）得
，
则
，.
（III）略.
注 利用重要不等式的结论解决不等式与数列结合的综合题，往往不会很难.一般是在第一问让学生证明，第二问运用这个结论来证明不等式，呈现层层递进关系.此题是对伯努利不等式的具体应用.因而学生对一些重要不等式要会熟练变形，加强不等式的训练是相当有必要.
3 用放缩法解决不等式与数列结合的综合问题
用放缩法解决不等式与数列结合的综合题一直是个重点难点.近几年的高考题中，大多以较难题的形式出现.解决此类题，关键在于如何选择恰当的放缩目标.放缩的方法一是求和中的放缩，二是求和后比较中的放缩.一般地，数列求和中的放缩的目标数列应该是使得数列变成易求和、易求积问题.
3.1 通过放缩转化为等差等比数列的求和形式
例3[7]已知数列满足，.
（I）证明是等比数列，并求的通项公式；
（II）证明：.
证明 （I）由，得
，
又因，所以是首项为，公比为3的等比数列，即，因此的通项公式为.
（II）由（I）得，当时，，所以
，
则
，
故
.
例4[5] 设数列的前项和为，满足，，且，，成等差数列.
（I）求的值；
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