中学数学化归思想及其应用

论文总字数：8222字

摘 要

化归思想是转化这一思想在数学方法论上的体现，是数学中常见且尤为重要的一种思想，并为解题提供了具体的方法和理论上的依据.其基本思想是通过化归把难以解决的问题转化成熟悉的，已知的，容易的问题，从而达到彻底解决问题的目的.本文着重研究中学数学中的各种用到化归思想方法的数学题目，归纳总结出几类化归的原则，以及化归的方法和手段.对中学生系统的掌握数学基础知识和基本技能以及提高中学生数学解题能力，数学思维能力和数学创新能力等起到帮助的作用.

关 键 词：中学数学，化归思想，化归原则，化归方法，应用

Abstract：The thought of transformation is the embodiment of the transformation of this thought in mathematics methodology,it is one of the most important and common thought in mathematics,and provides specific methods and theoretical basis for solving problems.The basic idea is to turn difficult problems into familiar, known, and easy problems, so as to achieve the purpose of solving the problems completely.This paper mainly discusses the mathematical problems in middle school mathematics which adopt the thought of transformation in various ways.Then several types of principles, means and methods of transformation are concluded.It helps middle school students grasp the basic knowledge of mathematics and basic skills, and it also helps improve middle school students" the ability of problem-solving,mathematical thinking and mathematical innovation.

Keywords：The middle school mathematics，transforming thought，transforming principle，transforming method ，application

目 录

1 引言 ……………………………………………………………………………3

2 化归的原则 ……………………………………………………………………3

2.1 将陌生问题熟悉化 …………………………………………………………3

2.2 将复杂问题简单化 …………………………………………………………4

2.3 将抽象问题直观化 …………………………………………………………5

3 化归思想的方法和在数学中的应用 …………………………………………6

3.1 恒等变形法 …………………………………………………………………6

3.2 映射反演法 …………………………………………………………………7

3.3 参数变异法 …………………………………………………………………8

3.4 分割法 ………………………………………………………………………9

3.5 数形结合法…………………………………………………………………10

4 化归对中学生学习数学的意义………………………………………………11

4.1 有利于发展中学生的数学思维能力和培养正确的数学观 ……………11

4.2 有利于中学生系统的理解和掌握中学数学的基本思想和方法…………12

4.3 有利于提高中学生的数学解题能力和数学创新能力……………………12

结论………………………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………………14

致谢………………………………………………………………………………15

1 引言

匈牙利女数学家路沙·彼得在《无穷的玩艺》一书中，讲到了一个脍炙人口的故事，大意是：现在有煤气灶、水龙头、水壶，你要烧开水，应该怎么做？答曰：“在壶里注满水，放在灶上，点燃煤气即可.”这自然是正确的，但若是壶中已经灌满了水呢？聪明的人可能会说，放在灶上，点燃煤气就可以了.但是，数学家的回答则是：“把水倒掉.”把问题转化成刚刚的原始问题.虽然，从常人的思维来看，数学家的这种思维显得有点不够聪明.可是，反思我们在处理一些难以处理的数学问题的时候，我们常常就是通过一些方法和手段，把我们不熟悉的，复杂的，较难的问题转化归结成我们熟悉的，简单的，容易的问题.最终，彻底解决问题.而且，著名数学家波利亚也曾在《解题表》中提出过类似的解题方案：“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？……”我们现在统一地把这种解题方式叫作化归.

化归，它既是一种思想，为解题提供思路.也是一种方法，为解题提供策略.从其涵义的角度出发，我们可以用一张图来直观的表示出它的解题思路：

待解决的难题目

容易解决的简单题目

解决容易的简单题目

方法

手段

已知问题

彻底解决

中学生在数学的学习过程中，可以发现化归方法随处可见，而化归思想的灵活运用更是能否快速、有效、正确解决难题的关键.所以，化归思想在中学数学中起着举足轻重的作用.

2 化归的原则

2.1 将陌生问题熟悉化

学生学习的过程是新知识与旧知识相互融合，碰撞，提取出精华部分的过程.而将陌生问题熟悉化，就相当于用旧的，已有的知识来解决新的，未解决的难题.这样，不仅能帮助我们在难题面前不畏惧不退缩，而且还能帮助我们迅速地解决难题，获得成功.并且，在这个过程中，我们既巩固了旧的知识，又学习到了新的解题技巧.

例1 解方程

分析 这是一个以为未知数的一元三次方程，我们之前并没有特别学习过它的解法，所以相对一般的中学生来说，这道题还是属于比较陌生的题目.那么，对于这种题，我们就要想到用化归的原则，将它转化成我们熟悉的题型.显然，我们可以把它先转化成我们所熟知的一元二次或者一元一次方程的形式来解答.通过观察，我们可以发现， 和 提取一个公因式后有一个的多项式，而，和提取一个常系数后也有一个 的多项式.这样，再提取这个多项式，原来的一元三次方程就能转化成我们熟悉的一元二次和一元一次的方程了.这样，问题也就得以解决.

解 ......移项

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