论文总字数：16897字
目 录
0、引言 3
1、问题的提出 3
2、Stolz公式及其证明 3
3、Stolz公式的推广及其证明 5
4、Stolz公式的应用 6
4.1求解数列极限 6
4.2在数列渐进性方面的应用 8
4.3在复分析中的应用 10
5、Stolz公式推广的应用 11
5.1求解函数极限 11
5.2证明Stolz公式 11
5.3证明L’Hosptial 12
6、小结 13
参考文献 14
致谢 15
Stolz公式的推广与应用
雷蓓
，China
Abstract：In this letter, we first give and prove the Stolz formula, then the Stolz formula of number sequence is extended to functional limit and prove it so as to provide a new method for solving the functional limit, finally introduce their applications and combine with some examples to explain. Among them, we discuss the three aspects of the Stolz formula's applications in solving sequence limit, in the progression of sequence and complex analysis. And applications of the promoted Stolz formula in solving the functional limit, certificating Stolz formula and demonstrating the rule of L'Hosptial. Thus the promotion of Stolz formula put up a bridge between the Stolz formula and L'Hosptial rule, so that they are more closely linked together. Through the research on it, some complex problems become more convenient.
Key words：Stolz formula；sequence；function；limit；The rule of L'Hosptial
0、引言
Stolz公式是数学分析中求解数列极限问题的一种简便方法，可以说是数列极限的L'Hospital，但我们知道数列极限与函数极限存在着密切的联系，这启发我们将Stolz公式进行推广从而得到更加广泛的应用.在文献[8]中给出了Stolz公式及其推广的证明，Stolz公式在求解数列极限和在数列渐进性方面的应用，以及Stolz公式的推广在求解函数极限和证明L'Hospital法则上的应用；在文献[11]中介绍了Stolz公式在复分析中的应用；在文献[9]中将Stolz公式的推广运用到证明Stolz公式上面；在剩余的文献中还提供了一些其它相关的证明方法等.众多学者全面而有极高实用价值的研究对于我完成这次论文提供了相当大的帮助，但大部分文献对于Stolz公式的研究并不全面，所以本文将对Stolz公式的相关内容进行全面的总结和归纳并举例说明.
1、问题的提出
在数列极限中，对于一些极限我们用通常的方法不容易求解，比如在求时，按照一般的方法，先计算，再求极限，这样是比较困难的.因此对于这类未定式极限，利用Stolz公式来求解问题就会变得非常简单.
2、Stolz公式及其证明
Stolz公式在我们大学本科阶段的课程内容中涉及的很少，但它在数学分析中求解数列极限的问题上简便而实用，非常值得我们进一步学习和研究，下面分别给出型和型Stolz公式及其证明.
定理1[8] （ 型Stolz公式）
设是严格单调递增并趋于 的数列，如果则：（其中A为有限数，或）. (1)
证：（i）首先，我们设A为有限数，已知，即对于，，并且有，特别取
，
，
……
.
将如上的个式子相加后，可以得到：
，
所以
，
即
，
对于固定的N，因为
故存在,使得当n时有
，0，
于是
=，
即
（ii）若，由（1）式可得，当n趋向于无穷大时，，因此单调递增并趋于 ，所以（1）式可以写成
由结论（i）可知，，
于是
（iii）若A=，只要令，则由上面（ii）可以证明，
即得
定理2[8] （ 型Stolz公式）
设、是趋向于零的数列，且严格单调递减，如果，则（其中A为有限数，或）.
证：方法同型Stolz公式的证明.
3、Stolz公式的推广及其证明
Stolz公式是数学分析中求解数列极限的L'Hospital法则，但我们知道数列极限与函数极限有着密切的联系，这启发我们将Stolz公式进一步推广，从而得到一种求解函数极限的简便而有效的方法，下面分别给出推广的型和型Stolz公式及其证明.
定理3[8] （推广的 型Stolz公式）
设T为正常数，如果函数满足如下条件：
（1）；
（2）在的任意子区间上有界；
（3）；
（其中为有限数，或）.
证：不妨设.
由（3）及极限定义易知，对于任意给定的，一定有正数，使得对一切及所有的自然数P有
，
，
，
如上各式相加可得
利用（2）式的右不等式可得
，
由于在中有界，
当时关于一致趋于，
所以存在正整数使得
，
因此对于一切，恒有
，
从而
.
由的任意性得到
，
利用（2）式的左不等式也可以得到
于是
.
定理4[8] （推广的 型Stolz公式）
设T为正常数，如果函数满足如下条件：
；
；
；
则（其中为有限数，或）.
证：通过上述定理的推导我们可以得到：对于任意给定的，一定有正数，使得对于一切及自然数P都有
（3）
对于任意固定的，在（3）式中令，
因为
，
于是
，
或
所以.对于的情况，结论仍然成立.
4、Stolz公式的应用
Stolz公式的应用，不仅在求解数列极限上，而且在数列渐进性方面和复分析中也有着一定的应用.因此我们将从这三个方面对于Stolz公式的应用展开讨论.
4.1求解数列极限
例1、求解 (.
解：令，，
则有：
由Stolz公式可知：
例2、对于数列，，
证明：1）
2）
证：1)因，递推可知
表明单调有下界0，，
知；
2）（用Stolz公式）要证
即要证或
用型的Stolz公式
.
例3、设 ，证明：
证明：首先可以看出为严格单调增加的正数列.因此只有两种可能.
假定它有极限，在递推公式的两边令，得到，这对于任何有限数，都是不可能成立的.因此可以知道只能是正无穷大量.
然后由Stolz公式计算如下：
4.2在数列渐进性方面的应用
结论1[8] 设，取为正数使得0，令，则有即
（4）
证：首先，易知，再由Stolz公式和L’Hospital法则可得：
令，当时，，
于是
，
从而（4）式成立.
即证.
如果把条件0换为，结论仍成立.
推论1[8] 设是一个正的连续函数，常数满足，令，如果为正数列且收敛于0，
则有
.
证：证法和结论1相同.
结论2[8] 设，取为正数使得0，令，
那么有
（5）
证：由递推公式，
可得
（6）
由
和Stolz公式得
. （7）
由于
，
于是
（8）
将（8）式代入（7）式得
证毕.
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