柯西-施瓦茨不等式的推广与应用

论文总字数：13282字

目 录

引言………………………………………………………………………………………………1

1. Cauchy-Schwarz不等式及其证明与应用………………………………1

1.1准备工作…………………………………………………………………………………1

1.2 Cauchy-Schwarz不等式及其证明………………………………………………………1

1.3 Cauchy-Schwarz不等式的应用…………………………………………………………3

1.3.1利用Cauchy-Schwarz不等式证明不等式问题……………………………………3

1.3.2 Cauchy-Schwarz的其他应用………………………………………………………5

二.Cauchy-Schwarz不等式的推广…………………………………………………6

2.1 Hölder不等式及其证明…………………………………………………………………6

2.2 Minkowski不等式及其证明…………………………………………………………… 8

2.3 n维欧式空间中的Cauchy不等式………………………………………………………8

三.Cauchy-Schwarz不等式在微积分学中的推广……………………………8

四.结论……………………………………………………………………………………… 11

参考文献…………………………………………………………………………………… 12

致谢……………………………………………………………………………………………13

柯西-施瓦茨不等式的推广与应用

曹智慧

, China

Abstract: In this paper, several proving methods of Cauchy-Schwarz inequality are given and some applications of different mathematical problems and some generalized inequalities of Cauchy-Schwarz inequality are given, too. These can help us understand Cauchy-Schwarz inequality better. What’s more, we can understand the nature of this inequality better.

Keywords: Cauchy-Schwarz inequality; Hölder inequality；Minkowski inequality.

引言：不等式理论是数学理论中一个很重要的部分，在数学理论中占有极端重要的地位，同时，它也是刻画现实世界中不等关系的数学模型.不等式应用范围很广，在概率论、微积分、线性代数等各个领域都能看到不等式的身影.而柯西不等式又是一个非常重要的不等式，并且有多种形式的推广，它可以非常灵活地解决一些特殊的数学问题.本文给出了三种不同形式的证明方法以及几种不同形式的推广和应用.

一. Cauchy-Schwarz不等式及其证明与应用

1.准备工作

Cauchy-Schwarz不等式的证明方法各式各样，本文给出三种不同方法的证明，通过不同方法的证明来表明Cauchy-Schwarz应用到各方面数学问题的实际可行性.为证明柯西不等式，我们需要引入如下两个定理.

引理一（算术-几何平均值不等式）:如果 均为正数，则其算术平均值大于等于其几何平均值.即：

等号成立的充要条件是 都相等.

引理二（Young不等式）：设,

则当时,有

等号成立的充要条件是.

2. Cauchy-Schwarz不等式及其证明

定理1：（Cauchy-Schwarz不等式）若，均为实数，则有

等号成立的充要条件是与成比例.

三种证明如下：

证明：

方法一：配方法

由于

（平方和大于等于，此等式变形实为Lagrange恒等式）

方法二：利用判别式

对于平方和

故，上述不等式左侧的判别式小于或等于，即

可知

方法三：利用算术-几何平均值不等式

令

由算术-几何平均值不等式变式

即

取有限和

故

上述三种方法是较为常见的几种证明方法：法一通过配方得到平方和的形式，而平方和恒大于等于零，实际上就是利用了Lagrange恒等式；法二通过引入变量，得到关于的二次方程，从而由关于的二次三项判别式证明柯西不等式；法三通过变形求和得到算术-几何平均值不等式从而证明Cauchy-Schwarz不等式.

3. Cauchy-Schwarz不等式的应用

Cauchy-Schwarz不等式应用广泛，在微积分、几何、代数甚至中学初等数学的一些问题上都可以得到应用，下面本文通过不同的例题来认识Cauchy-Schwarz在不同方面的应用.

3.1利用Cauchy-Schwarz不等式证明不等式问题

不等式的证明是非常常见的数学问题，不等式种类繁多，如三角不等式、积分不等式、数列不等式、绝对值不等式等，而且变化多样，从而不等式的证明是一个难点，需要较强的技巧性，但是我们通常可以通过分析、组合、配凑、放缩等几种技巧来简化不等式问题.Cauchy-Schwarz不等式也被广泛地应用于一些不等式的证明，通常可以通过Cauchy-Schwarz不等式来证明一些较为特殊的不等式.

例1．设均为正数且互不相等，求证：

证明：由于均为正数，故上述不等式等价于

又

故该不等式等价于

又互不相等，则根据Cauchy-Schwarz不等式可知，原不等式成立.

例2.设，且

试证明:

证明：由题设我们有

根据Cauchy-Schwarz不等式，我们有

即

例3：设，证明

证明：不等式等价于

根据Cauchy-Schwarz不等式，我们有

于是，我们有

不等式得证，等号成立当且仅当或或它们循环排列.

例4：证明：（Schwarz不等式）对任意两个实数列和，我们有

证明：令

由Cauchy-Schwarz不等式可得

所以

3.2 Cauchy-Schwarz的其他应用

通过巧妙的运用Cauchy-Schwarz不等式，我们还可以解决一些几何问题，如推导点到直线的距离公式和一些三角形问题等.下面通过例题来说明其在这方面的应用.此外，Cauchy-Schwarz还可以应用于求解极值问题、方程求解问题、确定参数范围问题等，此处不再赘述.

例5.已知点，设点是直线上的任意一点，则

点两点间的距离的最小值就是点到直线的距离.

有

由(2)(3)得：

即

当且仅当

(4)式取等号，即为点到直线的距离公式，

即

例6.三角形三边对应的高分别为，为三角形内切圆半径.若，试判断此三角形的形状.

解：设三角形面积为，则，又因为，所以

当且仅当时取等号，故当时，三角形为等边三角形.

小结：Cauchy-Schwarz不等式不仅在结构上对称，而且形式变化多样，使其在证明一些特殊的不等式的时候非常灵活且方便，我们在应用时应注意变通，比如平方的利用. Cauchy-Schwarz不等式无论在代数学还是几何学中都得到了广泛的应用，数学工作者对它的研究更是拓宽了它的应用范围，丰富的它的发展. Cauchy-Schwarz不等式是一个非常重要的基本不等式.

二．Cauchy-Schwarz不等式的推广

1.Hölder不等式及其证明

为证明Hölder不等式,我们需要引入一个重要的不等式.

引理三（基础关系式）：设,则

定理2.（Hölder不等式）：设且

则

当且仅当与对应成比例是等号成立.（当时即为Cauchy-Schwarz不等式）

证明：在(5)式中取

则(5)式变为

两边对求和，即得

令

代入上式便可证得Hölder不等式.

定理3（Hölder不等式的推广）对个正数序列（）,

（）,……,（）我们有

当且仅当个序列对应成比例时，等号成立.Cauchy不等式是此不等式当的一个直接推论.

下面我们用一个实例列举证明此推广的细节.

例7：（上述定理的推论）设是正实数.我们有

证明：这是Hölder不等式的直接推论.这里选择Hölder不等式的这个特殊情形，是因为它可以列举Hölder不等式证明的细节.

根据算术-几何平均值不等式，我们有

即：

不等式得证.

2.Minkowski不等式及其证明

定理4.（Minkowski不等式）设若,则有

当且仅当时等号成立.（当时，不等号方向相反）

证明：若,设则由Hölder不等式，有

取，两式相加，即有

因此，Minkowski不等式成立.

当时，由Hölder不等式的推广形式，有

故当时，Minkowski不等式不等号方向取反成立.

3．n维欧式空间中的柯西不等式

设是一维欧式空间，是其中两个向量，我们可在上定义一个二元实函数，记为，称其为内积，它满足如下性质：

1. ；
2. ；
3. ；
4. ，当且仅当时等号成立.

定义的长度为，则在此条件下Cauchy-Schwarz不等式可表述为

三．Cauchy-Schwarz不等式在微积分学中的推广

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