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目 录

引言 1

1、等价无穷小量的定义与其重要的性质 1

1.1无穷小量和有界量的概念 1

1.2无穷小量的阶和等价无穷小量的概念 1

1.3无穷小量和等价无穷小的性质 2

2、 等价无穷小量的应用 5

2.1常见的等价无穷小量和在无穷小之比中的应用 5

2.2在变上限积分极限中的应用 8

2.3和Taylor公式相结合的应用 9

2.4 在幂指数函数极限中的应用 10

3、等价无穷小量在函数极限中的推广 12

3.1 有限个函数积或商运算的等价无穷小量替换 12

3.2 在极限式中有加或减运算的等价无穷小量替换 13

结论 15

参考文献 16

致 谢 17

等价无穷小量在求极限中的应用

赵浩奇

, China

Abstract: We all know that there are many methods to calculate function limits by the knowledge we have got from undergraduate curricula，the substitution of equivalent infinitesimal is the one kind of important and practical approaches of solving function limits．In this paper，we deeply discuss，arrange and supply the definition，properties and some theories of equivalent infinitesimal on the basis of textbook as a matter of the lack of relevant content．We talk about applications of equivalent infinitesimal in the limit of infinitive function，power exponent function，function combined to Taylor Formula and variable upper limit of integral by solving and inducing some theories and classic examples．Finally，we generalize the usage of equivalent infinitesimal to make it can be used more widely in mathematics．

Keywords: equivalent infinitesimal；substitution；property；function limit

引言

我们通过现阶段所接触到的知识知道了求函数极限的方法有许多，而等价无穷小替换是我们所熟知的求函数极限的中有着重要作用的计算方法，尤其是在含有未定式极限中的运用尤为广泛．虽然它仅仅是高等数学中一个简单的基本概念，但在我们所接触到的许多的教材和参考资料中对其都没有进行系统的讲解，通常都是昙花一现一语带过，这样我们对它就没有太过深入的认识，就更别说熟悉它的应用了．虽然它会让极限计算变得不再那么繁琐复杂，但是运用等价无穷小就要遵循它的一些定理、性质，否则不但不能使极限运算变得简便而且往往还会出现错解，那么这就需要我们正确理解等价无穷小量替换的条件，正确的运用来简化极限运算．下面在本文中对这一概念进行整理，让我们来进一步的熟悉这一概念，更好地解决求函数极限的问题．

1、等价无穷小量的定义与其重要的性质

1.1无穷小量和有界量的概念

定义 1^[2] 当时，假设函数是无限接近于的，则有的绝对值也无限接近于，而作为变量显然就是无限变小的量，于是这样我们就把函数称为无穷小量．

我们还有另一种定义：

定义 ^[1]设在某内有定义.若，则称为当时的无穷小量.

定义 2^[1] 若函数在某空心邻域内，存在一个正数，使得每一个都有，那么则称函数在内有界，称为当时的有界量．

1.2无穷小量的阶和等价无穷小量的概念

定义3^[1]设当时，与均为无穷小量，且．

(1)^[1]如果存在，那么就称为当时的一个高阶无穷小量，显而易见的也是函数的一个低阶的无穷小量，我们记作;另外我们还规定了：假设为时的无穷小量可以记作．

(2)^[1]如果有两个正数与，并且在空心邻域上有，那么我们就称与为当时的同阶的无穷小量，记作．特别地如果时，那么和就一定是同阶的无穷小量．

(3)^[1]如果，则称与为当时的等价无穷小量，记为；如果，那么就一定有；我们可以这样理解“等价”就是无穷小与趋向的快慢是“大致相同”的．

1.3无穷小量和等价无穷小的性质

定理 1.1^[3] 假设存在对于同一个变量在同一个趋近过程之中的有限数个无穷小量，那么这些有限数个无穷小量相加的代数之和仍然还为一个无穷小量．

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