矩阵方程AX-XB=C有解的充要条件及其应用

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目 录

0 引言 3

1 矩阵方程有非零解的充要条件 4

1.1 矩阵方程的特解 5

1.2 矩阵方程解空间的维数 7

2 将任意与A可交换的矩阵B表示为矩阵A的多项式 8

参考文献 9

致谢 10

矩阵方程有解的充要条件及其应

何青松

, China

Abstract: There are many crucial applications of Sylvester equation,such as engineering and mechanics;linear system;automatic control.the foreign and domestic research about Sylvester equation had been fruitful.However,those methods to solve it are difficult to understand and some special results are not been found of references.In this thesis, the necessary and sufficient conditions of the Sylvester equation and its special case are given ,meanwhile ,if A can exchange with B,we use it to solve that when what conditions we can express B by polynomial of A.

Key words:matrix equation;characteristic value;Jordan normalized form; characteristic polynomial

0引言

矩阵是研究理论和解决实际问题的重要工具，矩阵方面的研究渗透到数学的各个分支，特别是线性代数离开矩阵是很难想象的。作为数学研究的基本工具，其中最常用的是解矩阵方程比如线性方程组要解矩阵方程，数值计算要解矩阵方程，工程数学矩阵方程更是重中之重。其中方程就是众多重要矩阵方程中的一个,它最常见的应用是在偏微分数值方法椭圆方程的有限差分格式中,该格式可以间接的化为方程,另一个常见的应用是常微分方程理论的稳定性问题.

从提出该方程后很多学者做了大量的工作，我们知道，研究线性代数可以从纯代数入手也可以从几何法解决也可以两者并用,在文献[1]中给出了矩阵方程有解的充要条件,用的方法是几何法并没有用到太多的代数技巧.文献[2]中给出了的通解解析式，这要用到比较深刻的矩阵函数和收敛性分析等知识,其中在一些基础的代数教程如[3]和[4]都给出研究该问题的一些重要过程和结论作为习题.方程最重要的是判定解的存在性以及根据矩阵的特征判断该方程有解的充要条件.一方面在文献[5][7]中给出了几个用矩阵分块以及矩阵的约当标准型去解矩阵方程的方法及精髓，这些方法在后面的矩阵理论中起重要的作用，另一方面文献[8][10]给出了方程的推广及一些类似的方程并给出有解的判定和充要条件。

本文主要用代数法在方程特例情况下研究其解的性质入手去研究有解的充要条件，在反复思考后联系到矩阵其约当标准型以及初等因子后利用该方程有解的充要条件解决了在什么条件下可以把任意与矩阵交换的矩阵表示为矩阵A的多项式.最后用模理论给出定理的合理解释.

1 矩阵方程有非零解的充要条件

方程是方程的一个特例,我们先来研究该特例的解的一些性质.

1.1 矩阵方程的特解

实际上将矩阵的特征向量组合易得该方程的一个解,这说明这个矩阵方程的解与矩阵的特征值有很大关系,下面我们来证明下面两个相关定理.

定理1 设矩阵分别是复数域上的阶，阶矩阵.如果有个互不相同的公共特征值，那么矩阵方程有秩为的解.

证明 不妨设是的个两两不等的特征值,所以存在分别为 ,取

经检验易知是方程的一个解.

下面证明的秩是.

一方面由矩阵乘积秩的不等式

注意到是线性无关的

所以

另一方面,由不等式

所以

从而

反之如果有秩是的解,那么是否矩阵一定有个特征值？这是确定的,证明如下.

定理2 设矩阵分别是复数域上的阶，阶矩阵.如果矩阵方程有秩为的解，那么至少有个公共的特征值（重根按重数计算）.

证明 不妨设是该方程一个解且秩是,则存在可逆矩阵使得

由于,所以

.

于是

经计算,有

，，其中

那么由的特征多项式与的特征多项式都含有因式，且相似矩阵具有相同特征多项式，从而至少有个公共的特征值，重根按重数计算.

上面两个定理并不是充要条件，我们得出了矩阵方程的解与两矩阵的关系，下面我们主要也是从特征值入手去解决方程有解的充要条件，为此需要如下两个引理.

引理1 设矩阵和，则无相同特征值,那么是非奇异的，其中表示的特征多项式.

证明 设为的特征多项式，由无相同特征值则存在多项式使得

（1）

将矩阵带入（1）得

从而可逆.

引理2 设矩阵分别是复数域上的阶，阶矩阵。矩阵方程只有零解的充要条件是没有公共特征值.

证明 必要性.设有公共特征值，则存在非零向量使得,注意到也是的特征值

所以

存在使得，取

所以

A=,

因此是的一个解，由于都不是零向量，所以不是零矩阵

那么

是的一个非零解.

充分性.设没有公共特征值，注意到

得到

,k是任意的非负整数

所以对求和得到

是多项式，特别的取为A的特征多项式

则

,由引理1可知

定理 设及,对任意的,矩阵方程有唯一的非零解的充要条件是矩阵有相同的特征值.

下面给出比文献[1]更为简洁的证明.

证明 在文献[1]中利用线性变换：

:

注意到的任意，所有只需证明这样是单射同时也是满的。直接由引理2可以得出定理3成立,命题得证！

用引理2证明该定理比线性变换办法证明好处在于不需要太多线性变换单射满射关系的研究，进一步说就是不需要同态基本定理的应用，这样可以在一个较低的起点去学习这个定理的实质。

我们知道矩阵与线性映射在确定的线性空间以及一组基下是一一对应的关系，实际上有时候把矩阵当成变换看将大大减少思考的难度,在定理3中，就是一个变换,下面我们给出这个变换的一个重要性质.

定理 设是复数域上的阶方阵,定义复数域上的线性变换,,那么的特征值是特征值的差.

证明 设是的特征值，则

,

由定理3 与有相同的非零特征值所以存在,则可以表示为特征值的差.下面证明特征值的差的值一定是的特征值：

注意到

,由定理3得知该方程一定有解！从而命题得证.

1.2 矩阵方程解空间的维数

从上面的几个推论得知,该矩阵方程其解空间维数与初等因子有关，而初等因子在矩阵的约当相似中起到关键作用,注意到矩阵方程,从而可以利用约当标准型研究该方程解空间的维数.这也是文献[11][12]中的约当方法，利用标准型可以解决很多分块矩阵的问题.

定理5 设是复数域上的阶和阶矩阵，那么所有满足矩阵方程的所构成复数域上向量空间，其维数是这里,分别跑遍的不变因子.

证明 不妨在的约当标准型下讨论，把它们的标准型仍记为则

=,=,表示阶数

把分块

=其中是阶矩阵.由

所以

一共个方程,由定理3

当时，0

当时

那么是一个三角分层矩阵

所以时一共有

{行数，列数}个非零元

也就是与的初等因子的最大公因式的次数，这样用做一组基，则的维数是这里,分别跑遍的不变因子.

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