论文总字数：8102字

目录

中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2

英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3

引言 4

1 循环矩阵代数概念及代数性质 5

2 循环矩阵特征值和特征向量 8

2.1特征值特征向量的概念和性质 8

2.2循环矩阵特征向量的一般求法 9

3 循环矩阵的逆及一般求法 9

4 循环矩阵对角化 12

4.1矩阵及循环矩阵对角化的概念 12

4.2循环矩阵对角化的主要性质 12

5 一类形式特殊的循环矩阵................................13

参考文献 16

致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17

循环矩阵的性质

张雍

，ChinaAbstract: In this thesis, we show the algebraic mathematical operation properties, the eigenvalues and eigenvectors, the problem of diagonalization and a simple calculation method of the inverses of cyclic matrices. Moreover, we give some applications to some special cyclic matrices.

Key words：cyclic matrix; eigenvalue; eigenvector; diagonalization; inverse matrix

引言

在代数学上,循环矩阵为一种形式特殊的Toeplitz矩阵,早在十九世纪末,循环矩阵的观点就已经被T Muir提出,但是没有得到足够的重视.六十多年后以I.J.Good为首的诸多学者才开始对其逆,行列式,特征值和特征向量等性质开展研.

自二十世纪中叶以来,循环矩阵的研究得到高度关注,早已成为应用数学和矩阵理论等领域的一个重要研究方向,得到突飞猛进的发展,一些新形式的循环矩阵被陆续提出,例如：对称循环矩阵、循环快矩阵、块循环矩阵、置换因子循环矩阵、-循环矩阵、-循环矩阵、-循环矩等.

循环矩阵之所以能够引起学者们的重视主要由于如下几个方面的原因:第一,相比于普通矩阵,循环矩阵也具有很多相同的特性,例如逆矩阵,特征向量和特征值等,对其进行进一步探寻的同时也能够更加深入的了解普通矩阵.第二,循环矩阵由于它具有很多特殊的性质,被广泛地应用到信号处理、分子震动、纠错码理论、固态物理、理论物理、计算机时序分析、电动力学、计量经济学、小波变换、晶体结构以及自回归滤波器设计等现代科技工程领域中.第三,在应用数学和计算数学等领域中,循环矩阵具有很多巧妙的结构，它也被普遍地应用到理论控制、求解微分方程、样条插值、曲线几何设计与傅氏变换和平面解析几何等领域中.

直到今天,循环矩阵的理论研究仍然不是十分完备,学者们对循环矩阵的研究还在继续深入.鉴于循环矩阵的重要性,有必要在前辈们努力工作的基础上进行推广研究.文献[4]-[7]主要给出了许多代数学上关于矩阵的一些基本概念和性质，文献[8]对循环矩阵对角化问题进行了探讨，文献[9]提出了循环矩阵的基本性质，文献[10]给出了许多广义循环矩阵的定义和性质，文献[11]和[12]讨论了循环矩阵求逆矩阵的相关问题，文献 [13-15]也给本文带来了许多启示和指引.

本文分为五个部分.第1部分,介绍了循环矩阵的概念和相关运算性质.第2部分,介绍了循环矩阵的特征值特征向量.第3部分,介绍了循环矩阵的逆，同时提出了求逆矩阵的一般方法.第4部分,主要研究了循环矩阵的对角化及相关性质.第5部分,研究了一类形式特殊的循环矩阵---构成等比数列的循环矩阵.