论文总字数：11538字

目 录

0、引言 1

1、问题的提出 1

2、范畴与函子基本知识 1

2.1范畴 2

2.2函子与自然变换 2

2.3 Yoneda引理与可表达函子 3

2.4极限和余极限、积和余积 5

2.5保持极限的函子 6

2.6伴随函子 7

3、大学数学中的范畴与函子 7

3.1集合范畴 7

3.2偏序集范畴 7

3.3线性空间范畴 8

3.4代数结构范畴 9

4、范畴论在其它学科的应用介绍 9

4.1软件设计 9

4.2地理本体集成研究 10

5、总结 10

6、讨论 10

参考文献 10

致谢 12

大学课程中的范畴与函子

金文祥

，China

Abstract: The main purpose of this paper is connecting knowledge in advanced mathematics with category theory. Firstly, this paper introduced fundamental definitions, and then discussed the basic content of category theory through fundamental definitions. While, on the premise of understanding the definitions of category theory, focusing on some important theories that directly related to the core content of category theory. Then with known of category theory, we content promotion to advanced mathematics, such as set, linear spaces and algebraic structure. After, we set some examples to relect them. Last, I will set forth the development prospect of the theory and suggest that the theory has involved a lot in other fields. Hope category theory can be more widely learned by readers and used to deal with more problems in the future.

Key words: category;functor; set; linear spaces; algebraic structure.

0、引言

范畴论起源于上世纪40年代对代数拓扑的研究，最早由Mac Lane和Eilenberg引入，为同调理论的公理化提供了基本工具。Grothendieck在1955年的重要论文引入了Abelian范畴等基本概念，范畴论开始成为同调代数和代数几何的基本语言。而现代数学的范畴论为日趋庞大的数学分支以及分支之间多样化的联系提供了一种简洁的、统一的符号语言。之前Bourbaki总结的三种基本的母结构，即代数结构、序结构和拓扑结构，范畴论的功能是将三种结构再统一为一种形式，使得任何目前可以想像的数学结构都可以用范畴论的语言来描述。理论计算机科学中，范畴论在函数程序指令、程序与语义学和程序逻辑学等领域有着广泛的应用。

本论文所解决的问题是我们在大学数学中学习的一些课程如何用范畴论的知识体系表示。我们立足于大学所学知识，先学习范畴论的知识体系构建，如范畴、函子、态射、自然变换等基本定义，然后着重了解在范畴论基本定义下的一些拓展概念，如Yoneda引理、可表函子、极限理论、保持极限的函子、伴随函子。最后用范畴论的知识对大学课程中的集合、偏序集、线性空间、代数结构进行分析，理论说明我们用大学课程外的另一种方法去看待所学知识。正因为大学数学教学中对不同科目之间的联系性强调不足，而范畴论语言恰是为统一理解数学语言的一个有力的框架，所以我们学习范畴论知识可以多一种数学语言去更好地看待数学问题，为进一步学习后续课程打下良好基础。

1、问题的提出

在数学的历史长河里，数学知识体系之间的联系性不足让很多学习者不能统一的看待数学问题。有人会想能不能用一种类似定理的语言描述数学各分支，并且将数学各分支联系起来。随着上世纪对代数拓扑的研究，范畴论的出现有效地解决了这个问题。范畴理论的语言为统一理解数学提供了一个有力的框架。范畴论是抽象地处理数学结构以及结构之间联系的一门数学理论，学习起来也不容易，所以要联系身边所学来理解范畴论。我们在学习大学数学课程时没有将各数学分支有效地联系起来，因此作者联系大学数学课程，运用范畴论语言，更好地帮助读者巩固大学课程某些方面知识联系。

2、范畴与函子基本知识

现代数学许多领域的研究可以概括为特定的数学对象或者对象之间关系的研究，范畴的概念正是这些特定的数学对象和映射的概括与抽象。这一节的内容包括很多基础的定义，这是我们了解范畴论内容的第一步。

2.1范畴

定义１^[2]一个范畴?是由以下：

（1）一族对象，，…；

（2）一族态射，即对任意一对对象和，有对应的集合?（，），使得当≠或≠时，?（，）与?（,）不交；

构成。 满足下面条件：

1. 每个态射都有定义域和值域对象。:表示以为定义域，为值域的一个态射，到的态射全体构成的集合即?（，），也记作Hom_?（，）。
2. 复合运算律：若，，是范畴中的对象，∈?（，），∈?（，），则存在唯一的∈?（，），称与g的复合。
3. 结合律：若X，，，是范畴中的对象，∈?（，），∈?（，），h∈C（，）则有（）=（）。
4. 单位态射：每一个对象，存在一个态射∈?（ ,）使得对任意的f∈?（，）及g∈?（，）有

=， =。

定义２^[3]对任意一个范畴?，其对偶范畴有：

　　　（ａ）一族对象，与范畴?相同；

　　　（ｂ）一族中的态射，对?中的每一个态射，的定义域是定义在上的值域，的值域是定义在上的定义域。

例如，：　∈　　　　　：　∈?。

定理1^[1]（对偶原理）设是一个关于所有范畴的真命题，则将命题中所有的态射反向得到新命题^＊也是一个关于所有范畴的真命题，称为对偶原理。即＝成立。

2.2函子与自然变换

函子是范畴论里最主要的概念之一。

定义3^[3]如果?和?是两个范畴，那么?到?的一个函子由以下数据构成:

每个?中的对象对应一个?中的对象，以及每个?态射，有对应的?中的态射。即伴随有两个映射：

ob?ob? : ;

Mor?Mor? : .

满足 =，.

上面定义的函子也称协变函子，对偶的概念是反变函子。

定义4^[2]从?到?的反变函子：?。有：

　　　　　（ａ）对每个对象∈?，有∈?；

　　　　　（ｂ）对每个态射：∈?，有态射：∈?。且的定义域和值域分别对应于的值域和的定义域。

另外，我们称从两个范畴的乘积范畴到另外一个范畴的函子叫做双函子。

在范畴论中，我们由等价引伸另外一个定义：同构。

定义5 ^[4]一个态射 :   如果是可逆的，则其在范畴中是一个同构。也就是说，有另外一个态射  :   并且构成 =和  =_, 其中 和_, 是 和 的单位态射。

定义6 ^[2]给定范畴?与?和两个函子，：??，一个自然变换：包含：

对?中每一个对象，存在态射 ：，满足：对任意?中的任一态射：，有下面的图表交换：

图1

自然同构是指一个自然变换:，其每一个部分都是一个同构。

定义7^[5] 给定两个范畴?和?，它们称为等价的，若：

存在两个函子:??, :??,及两个自然同构:→_? 和:_?→.这里 : ?→? 以及: ??。

从范畴的观点来看，两个数学分支之间的联系往往可以视作两个范畴之间的等价性。

2.3 Yoneda引理与可表达函子

定义8 ^[6]?是一个范畴，对于?中所有的对象与可定义如下两个函子：

Hom（，）：?Set这是一个基于以下的协变函子:

(1)Hom（，）将?中每个对象映射为态射集合，Hom（，）;

(2)Hom（，）将?中每个态射:映射为函数Hom（，）：对于Hom（,）中每个, Hom（，）Hom( ,):.

Hom（，）：?Set这是一个基于以下的反变函子:

(1)Hom（，）将?中每个对象映射为态射集合，Hom（，）;

(2)Hom（，）将?中每个态射:映射为函数Hom（，）：对于Hom（，）中每个,Hom（，）Hom(，):.

Hom函子也叫做态射函子。同时，函子Hom（，）也称作对象的点函子。

对每个态射:和: 有下面的交换图表：

Hom（，）

Hom（，）

Hom（，）

Hom（，）

Hom（，）

Hom（，）

Hom（，）

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