压缩映射不动点的迭代估计及应用-毕业论文网

论文总字数：5164字

目录

1引言……………………………………………………………………5

1.1研究意义…………………………………………………………………………………5

1.2国内外现状………………………………………………………………………………5

1.3本文目的…………………………………………………………………………………5

2预备知识………………………………………………………………5

2.1压缩映射原理及其误差估计……………………………………………………………5

2.2误差估计的例子…………………………………………………………………………6

3广义压缩映射不动点定理及迭代估估………………………………7

3.1广义压缩映射原理及其误差估计………………………………………………………7

3.2新的误差估计的例子…………………………………………………………………10

4广义压缩映射不动点在微分方程中的应用…………………………11

5结论……………………………………………………………………12参考文献………………………………………………………………13

致谢……………………………………………………………………14

压缩映射不动点的迭代估计及应用

方志恺

, China

Abstract：In this paper, we first discuss the Banach fixed point theorem and its error estimation, and then generalize these result to a class of contractive type mapping. Finally, we consider the application of the generalized contractive mapping theorem.

Key words：Contractive mapping; fixed point; error estimation; differential equations

1引言

1.1研究意义

1922年，斯特凡·巴拿赫(1892–1945)提出了Banach不动点定理.Banach不动点定理，又称作压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要手段它确保了度量空间的一类自映射不动点的存在性和唯一性，并给出了求出这些不动点的迭代算法.Banach 压缩映射原理在数学各个分支有着广泛的应用，它是一类非常重要的非线性算子, 普遍存在于非线性微分方程、非线性积分方程和泛函微分方程中, 因此压缩映射原理在研究这些方程的解的存在性方面起着十分关键的作用.所以，压缩映射的不动点存在性研究, 一直得到人们的关注.

1.2国内外现状

许多学者对此也展开了方方面面的研究.[1]中，引用压缩迭代序列的极限理论，形成一套理论方法，并指出它的后续发展和应用；[2]中，采用了不动点法求通项公式的递推数列；[3]中，讨论了数学分析中的几个不动点问题, 给出了它们在数学分析中的一些应用；[4]中，主要介绍了 Banach 不动点理论及其变换形式在数学分析、数学建模等领域的应用；[5]中，以压缩映射不动点理论为基础,建立了一种提取图像几何不变特征的框架；[6]中，对Banach不动点定理数学本质的研究,适当放宽了不动点定理条件中对压缩映射的要求,推广了Banach不动点定理并加以严格的证明,进而放宽了该定理的适用范围，并给出实例阐述应用Banach不动点定理的推广形式能够处理一些在Banach不动点定理无法判断情况下的问题,更凸显了Banach不动点定理的推广形式其应用的宽泛性和实用性.

1.3本文目的

在以上文献基础上，本文先就压缩映射不动点定理及迭代估计式作出阐述，然后将其推广到一类广义压缩映射，最后探索了该类广义压缩定理在微分方程求解中的应用.

2预备知识

2.1压缩映射原理及其误差估计

定义2.1.1^[3，4，6]：设是一个非空集合，为一个映射，如果有使得，则称是映射的一个不动点.