论文总字数：14638字

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中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2

英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3

引言 1

1 p-群的定义及简单性质 2

2 换位子公式与可解群 2

2.1换位子和可解群的定义 2

2.2换位子公式及其证明 3

3 Sylow定理在p-群上的应用 4

3.1简述定理 4

3.2证明有限p-群是可解群 4

4 一些特殊p-群的构造 5

5 p-群相关性质证明 7

参考文献 12

致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13

P-群的性质

燕朕

，China

Abstract: In this thesis, we study the properties of p- groups. (1) We prove two simple theorems of the p- groups; (2) for solvable groups, we show some common commutator formulas; (3) we explore applications of Sylow theorem to the p- group; (4) and explores the special structure of the p- group of the order construction of groups.

Key words：p- group; Solvable group; commutator; Sylow theorem

引言

本文主要研究的是p-群以及p-群的相关性质。从群论的诞生起，特别是从发表著名的Sylow定理起，p-群吸引了许多群论学者的关注目光，并进行了大量的学术研究。但是在20世纪，几乎可以说有限群论的主攻问题只有限单群的分类，因此p-群的发展比较缓慢。这种情况在新世纪到来的前后发生了巨大的变化。M.Aschbacher和S.Smith在2003年完成了关于“拟薄”型有限单群的分类标志着完成了有限单群的分类已经完成。正如有限单群理论的权威学者、世界级领军人物之一Z.Janko所说”有限可解群的理论已经发展到令人满意的程度，剩下的就是有限p-群的研究和分类。”近年来p-群研究异常活跃。

我国从华罗庚和段学复1930年前后组织的p-群讨论班开始了p-群的研究，他们主要研究的方向是p-群的算数结构，若干重要结论就是在这个时期得到的。但因为中国的抗日战争，在大约十年后才发表了他们的研究论文。他们在当时提出的猜想至今尚在研究中。新中国成立后，文献[1]作者徐耀明从20世纪60年代起对于正则p-群做了系统的研究。另外，首都师范大学王汝楫、四川大学任永才也做了不少工作。近年来，我国若干青年学者，如张继平、张勤海、郭秀云、黎先华、马玉杰、陈贵云、刘和国、杜少飞等对p-群也得到了一些有价值的成果。说明我国学者对p-群研究还是有一定的基础。

文献[2]给出了定理，并进行了深入的研究，提出了p-群相关的性质。文献[3]主要是提出了换位子公式对于在p-群上进行了研究，文献[4]给出了p-群的构造的研究方法和性质。文献[5]主要讨论了p-群的先关例题的解答。

文献[6]～[15]也为文章的行文提供了很多的指导与启发。

本文共分为五个部分。第1部分，证明了两个简单的性质。第2部分，引出了换位子与可解群，证明了一些常用的换位子公式。第3部分，探究了 定理在p-群上的应用。第4部分，探究了特殊p-群的的构造，主要是阶为的构造第5部分，对一些关于p-群的性质进行了证明。

p-群的定义及简单性质

在本章中，我们将介绍p-群的定义，及一些简单的性质。首先，我们需要群的定义。

定义1.1 非空集合G成为一个群，如果G中定义一个二元运算，叫做乘法，它满足

（1）结合律：

（2）存在单位元素：存在，使对任意的,都有

（3）存在逆元素：对任意的存在，使得

定义1.2设p是一个素数，如果群G中的每一个元素的阶都有限是p的阶乘，那么就称G是一个p-群.

这里给出一个常见的p-群的例子：循环群

下文凡是提到p-群时，p均指为素数。

定义1.3 称群G的子群N为G的正规子群，记做，如

定义1.4 G是一个p-群，N是一个子群。若G中每一个元a可以同N的每一个元n交换，显然有，即N是正规子群。这样的正规子群叫做G的中心。

下面这两个性质对p-群是非常基本的。

定理1.1 设G是有限p-群，=gt;1,则G的中心.

证明 把G进行共轭类分解

，

类方程为

.

因为，其中，所以由推知是p的方幂。又由推知至少还有一个，于是

定理1.2 设G是有限p-群，N是p阶不变子群，则

证明 由N/C定理，得

.

因是p-1阶循环群，而是p的方幂，故

,即.

换位子公式与可解群

换位子运算公式是p-群的经典结果，换位子公式的运算技巧在p-群的研究中具有重要意义。

2.1换位子和可解群的定义

定义2.1.1 设G为任一群，a，b∈G，规定

,

叫做元素a和b的换位子。在令

称为G的换位子群或导群。有定义可以验证下面的定理。

定理2.1.1

是G的全部变子集，并且若NG，则G/N是交换群N≥.

由此，G是交换群.

我们还可以归纳的定义n阶换位子群

定义2.1.2 定义n阶换位子群

上面定义了G中两个元素a,b的换位子是[a,b]。下面我们来给出多个元素的简单换位子的定义。

定义2.1.3 设G是一个群，。我们来递归地定义的简单换位子当时，

而当，

其中叫做该换位子的项。

定义2.1.4称群G为可解群，如果存在正整数n，使

明显的，可以得到下面引理

引理2.1.2

设，则.

引理2.1.3 可解群的商群和子群仍可为可解群。

2.2换位子公式及其证明

定理2.2.1 设G是群，，则

证明

（4）

（5）

（6）令。轮换a，b，c三个字母，又令，则有

同理有

于是

1. 首先

同理又有

于是

互换a，b两个字母即得（7）式。

定理在p-群上的应用换位子公式

在本节中，我们给出 定理在p-群的换位子上的应用。

3.1简述定理首先，我们回顾 定理如下： 第一 ：若G是有限群，p是素数。设，即，但。则G中一定存在阶子群，叫做G的 p-子群。

第二 ：G的任意两个 p-子群皆在G中共轭。

第三 ：G中 p-子群的个数是的因子，并且

3.2证明有限p-群是可解群

下面我们给出p-群的可解性的证明。首先我们有：

定理3.2.1 设G是有限群，P是G的p-子群，但不是 p-子群。则。

证明 考虑G对子群P，P的双陪集分集

每个中含p的右陪集的个数为，是p方幂。又因为，而P1P=P仅含有一个P的右陪集，故至少还有,使仅含一个右陪集。对于这个，必有,于是。这就得出。

推论3.2.2 设M是有限p-群G的极大子群，则，且.

证明 因为,M自然不是G的 p-子群。由定理3.2.1得.又由M的极大性得，即。再考虑。由M的极大性知没有非平凡子群，于是是p阶循环群，。

定理3.2.3 有限p-群G是可解群。

证明 设，对n用归纳法。当时结论显然成立。现在设结论对成立，来观察n的情况。任取G的极大子群M，由推论3.2.2，，于是M是可解群。又因为为p阶循环群，亦可解，由引理2.2.3，得G可解。

一些特殊p-群的构造

在本节中，我们给出阶为p,p^2,p^3 的p-群的结构。

定理4.1.1 设G是p阶群，则G是循环群。

证明 p阶群必为循环群，只有一种类型。 下面给出阶是p^2 的群的结构

定理4.1.2 设G是阶群，则G是。

证明 若G中有阶元素，则G为阶循环群。若G中没有阶元素，则它的每一个非单位元都是p阶元。因而或为或为。

最后我们给出p^3阶群的结构定理如下

定理4.1.3 设G是阶群，则G是下列群之一：

1. 交换群
2. 非交换群：

（B1）：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（B2）

（Ⅰ）

（Ⅱ）

证明 为了证明我们先来证明几个引理

引理 4.1 设G是有限交换p-群，则G循环G中只有一个p阶子群。

证明 ：是显然的。

：用对的归纳法。设G只有一个p阶子群P。考虑映射。易得是G的自同态，而.由同态有,于是。若，当然G循环。而若，必有.由归纳假设，循环。设，再设a是在之下b的任一原像，即，于是。又已证,故G=是循环群。

引理4.2 设G是有限交换p-群，非循环，a是G中最高阶元素，则存在H使

.

证明 用对的归纳法。由G非循环，根据引理4.1，G中至少含有两个p阶子群，设P是不含的一个p阶子群。作,aP仍为的最高阶元素。因为,故存在.使.令,于是得，且.只须证。由的直积分解知,故。因，故只有这时，得证。

引理4.3 有限p-群G可以分解为循环子群的直积

证明 由引理4.2即得分解性。为证唯一性，用归纳法并引入G的两个不变子群

实际上它们分别来自同态的核和像集。

由前式得。因为是由G唯一确定的子群的阶，得s的不变性。再由后式得也是被G唯一决定。

由引理4.3，阶交换群有三种类型，其型不变量分别为。下面来研究非交换情况。

设G是阶非交换群。任取p阶正规子群N，则因为，是交换群，得。

但，则必然有,并且。再注意到G中必无阶元素，我们可以分两种情况：

1. G中有阶元素a：这是G的极大子群，因此。因，故。由前面可知。在外面任取一元，在分两种情况：

（ⅰ）：因为，换位子，但因故可设，这里。取满足，令，则由2.2的换位子公式（4）（5）有于是G有关系

（ⅱ）：因为，比较阶可令。如果，

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