一维Sobolev不等式

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目 录

0.引言3

1. 区间上的Sobolev空间3

1.1 Sobolev空间的定义4

1.2范数、完备化5

1.3 Sobolev空间上函数的正则性6

2. Sobolev不等式11

2.1稠密性12

2.2卷积与截断12

3. 空间与Poincare不等式15

3.1空间的定义15

3.2空间上函数的刻画16

3.3 Poincare不等式16

4. 度量图上的Sobolev空间18

4.1 度量图上的Sobolev空间的定义18

4.2 稠密性18

参考文献20

致谢21

一维Sobolev不等式

张大永

，China

Abstract: This paper introduces the basic theory of Sobolev spaces on one-dimensional spaces(R，interval, metric graph). We discuss regularity, extension and approximation of Sobolev functions on real axis and interval, as well as Sobolev inequality and Poincare inequality. Based on this, we preliminarily discuss the Sobolev spaces on metric graphs.
Key words: Sobolev space; embedding theorem; Sobolev inequality; Poincare inequality

1. 引言:

判断数学函数的光滑性有许多标准，可以说最基本的标准是连续性。我们不仅要求可微函数本身是连续的，还要求其导数也是连续的，这类函数组成的集合为空间，他们在许多领域都很重要，特别是对于微分方程。在二十世纪，人们注意到空间（或等）并不是研究微分方程解的合适空间。自然地，Sobolev空间就发展成为了偏微分方程经典的解空间。

Sobolev空间是以俄罗斯数学家Sobolev的名字命名的，它是函数本身和其导数的范数组成的函数向量空间。现代Sobolev空间已经发展成为了庞大领域，主要运用于偏微分方程方面。直观含义上，这些空间自然构成了Banach空间，如：光滑函数空间均不具有Banach空间的结构，现在偏微分方程理论的做法是，先在合适的Sobolev空间中找到方程的弱解，然后再考虑解的正则性。

本论文主要介绍一维空间上Sobolev空间的基本理论。第一、二章节中介绍了用弱导数来定义Sobolev空间，然后讨论了实轴和区间上Sobolev函数的正则性，延拓和逼近；第三章节探讨了Sobolev不等式和Poincare不等式的一般情形；在前三章的基础上，第四章则初步探讨度量图上的Sobolev空间的理论。

1. 区间上的Sobolev空间

令为一区间，本文我们经常用到如下的几个空间：

表示上具有紧支集的k阶连续可微的函数空间；表示k阶连续可微的函数空间；对，，记

特别地

表示值域为的上的可积函数空间，可测且存在常数使得a.e.于上，记

在这里，支集是集合的闭包，若函数的支集是紧集，则称函数为紧支撑的。以后我们用表示且是紧的。

下面我们将利用弱导数来定义Sobolev空间。

定义1.1 设，若存在函数，使得

则称有弱导数，记为。

这里我们用空间中的函数作为试验函数，也可等价地使用和中的函数作为试验函数。

那么用弱导数定义Sobolev空间为：

定义1.2 Sobolev空间：设是有界或无界的区间，设，定义

其中是的弱导数，是一个试验函数。特别的， 记

注1:

为了更清楚地了解的定义，下面给出具体例子说明：

例1 设，

i）对任意，函数属于，其中，。

ii)对任意，不属于。

i .

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