论文总字数：13934字

目录

0 引言 3

1 问题的提出 3

2 预备知识 3

2.1 定义概述 3

2.2 定理概述 4

3 向量方法的应用 5

3.1 向量方法在平面几何中的应用 5

3.2 向量方法在立体几何中的应用 10

3.3 向量方法在代数中的应用 14

4 向量方法的优越性分析 17

4.1 证明托勒密定理 17

4.2 证明直线与平面垂直的判定定理 19

4.3 证明柯西-许瓦兹不等式 20

5 结论 21

6 讨论 22

参考文献 25

致谢 26

向量方法在数学各学科中的应用

李天

, China

Abstract：Vector is one of the basic and important concepts in mathematics. Because of its superior characteristics, vector method has a wide range of applications in all disciplines of mathematics. This article firstly elaborates on the related definitions and theorems of vector method and then enumerates typical examples to discuss the application of the vector method in various disciplines of mathematics. After that, this paper proves three famous theorems by various methods including vector method, and then demonstrates the superiority of the vector method. Finally, this paper summarizes the main points of vector method in practical applications and discusses the applicability of vector method through the proof of generalized inequality.

Key words：Vector; Geometry; Algebraization; Cauchy-Schwarz inequality

引言

向量是既有大小又有方向的量,它具有几何的构造规律和数量的运算法则,是数形结合的典范.向量在数学中的发展,归功于挪威测量学家威塞尔.18世纪末期,他首次用坐标平面上的点来表示复数(为有理数,且不同时等于0),并借助复数运算的几何意义来定义向量的运算,但此时复数的利用只局限于平面.19世纪中期,英国的数学家哈密尔顿发明了四元数,并用此来代表空间向量,为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后,英国的数理学家麦克斯韦把四元数的数量部分与向量部分分开处理,创造了大量向量分析.19世纪80年代,英国的居伯斯、海维塞德推进了相关研究,他们分别独立地完成了三维向量分析的开创以及同四元数的正式分裂.他们在自己的理论中引入了两种类型的向量乘法,即向量的数量积和向量积,并成功地把向量代数推广到了变向量的向量微积分.从此,向量方法被引入到分析和几何中,逐步完善,并最终成为了一套优良的数学工具.

问题的提出

使用向量方法研究数学问题,是当今数学各学科中广泛研究的重要课题之一.在实际研究中,问题的解决方法往往是多样的,鉴于向量方法在数形结合方面的突出优势,根据条件恰当引入向量方法,会给问题的解决带来便利.本论文以几何与代数方面的典型例题为引导,在归纳向量法解题思路的基础上,总结向量法解题的重难点.研究此类问题,有助于我们对数学体系的理解,更方便我们今后对于向量法解题的运用和推广.