留数定理与一般超几何级数的计算

论文总字数：5253字

目 录

摘要 ···························Ι

Abstract ··························Ι

1. 引言···························1

　　1.1留数 ·························1

　　　　1.1.1留数的定义与求法··················1

　　　　1.1.2留数定理及其推论 ··················2

　　　　1.1.3应用举例 ······················3

　　1.2一般超几何级数简介·····················6

1. 一个超几何级数的计算···················7
2. 结论···························9
3. 讨论···························9

参考文献··························9

致谢····························10

留数定理与一般超几何级数的计算

王禄飞

，China

Abstract: The generalized hypergeometric series, which belongs to the category of special function, is closely related to combinatorics. Especially the generalized hypergeometric series summation and transformation formulas have important application values in number theory, physics and computer algebra. Cauchy residue theorem is an important part of complex function theory and has good application in evaluating summation of series. In this paper, ahypergeometric series summation formula is derived by using partial fraction decomposition principle derived from residue theorem.

Key words: generalized hypergeometric series; residue theorem; partial fraction decomposition

1.引言

在复变函数论中，柯西留数定理是一个非常的重要内容，在复分析中，柯西留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有效的方法，其次，它也可以用来计算实函数的积分．除此之外，由留数定理衍生出的部分分式分解原理在级数求和方面也是一个很好的方法．一般超几何级数，属于特殊函数范畴，是普通几何级数的一种推广，一般超几何级数产生的理论意义和应用价值在组合数学、数论以及计算机代数范畴中得到了很好的体现，特别是对一般超几何级数恒等式的研究一直是研究组合数学和特殊函数学的学者感兴趣的课题．本文旨在介绍留数定理在一般超几何级数恒等式计算中的应用，并利用部分分式原理推导出一个级数求和公式.

1.1留数

1.1.1留数的定义与求法

定义1 使函数孤立点为有限点，则在点的某一个去心领域内解析，存在积分，它是在点的留数，标记作.

因为本文涉及到的函数的奇点只有一阶极点，在此仅介绍极点处留数的求法．

定理１ 设为的阶极点，

，

其中在点解析，，得到

.

这里符号代表，且有.

推论1 设为的一阶极点，，

则 .

例1 求函数．

解 因为存在两个一阶极点，这时有

，

因此　　　　　　　　　 ．

例 2 求函数.

解 因为 有一个三阶极点，所以我们有

．

1.1.2留数定理及其推论

定理２（柯西留数定理）设在复周线或周线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除了外连续，则（“大范围”积分）

. （1）

证明 令圆心为，充分小的正数为半径画圆周使这些圆周及内部均含于，使它们之间相互分离开，从复周线的中柯西定理应用可以知道

，

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