论文总字数：10377字

目录

摘要 1

Abstract 2

1前言 3

2系统的基本概念及稳定性定义 4

2.1系统的定义 4

2.2系统稳定性的相关概念 5

3李雅普诺夫稳定性理论 7

3.1李雅普诺夫方法 7

3.2李雅普诺夫方法的应用和推广 10

4李雅普诺夫方法在无限维系统中的应用 15

4.1无限维系统的概念 15

4.2无限维系统最优控制的逼近 16

5总结 20

参考文献 20

致谢 21

李雅普诺夫方法在系统控制中的应用

谢宝群

，China

Abstract：In this paper, we first introduce the description of the system’s state space and the definition of stability of the system. Secondly, we introduce the application of the Lyapunov method and the extended Krasovsky method. Finally, we introduce the concept of optimal control on an infinite-dimensional system and approximate to the optimal solution by iterating the solutions of operator Lyapunov equations.

Key words：Stability of the system; Lyapunov method; infinite-dimensional system; optimal solution

1前言

俄国数学家李雅普诺夫于十九世纪末发表了论文[1]，文中依据数学分析中的极限论思想，用语言精确定义了系统稳定性的概念，还总结出了两种判别系统稳定性的方法：其一是通过求解状态方程，然后依据系数矩阵特征值的正负关系判别，其二则是构造特殊函数，然后依据构造的函数及其导数的正负定关系判别。

系统的稳定性最早可以采用诸如奈奎斯特判据和劳斯判据等方法进行判别。佟婷婷在[2]中总结了一些判别线性系统的稳定性判据。例如劳斯判据，其判别步骤如下：首先对系统的输入输出方程进行拉普拉斯变换，然后将二者相比得到系统的传递函数，并列出传递函数的特征方程：

接着依据特征方程的系数列出劳斯表，最后由所求得的劳斯系数的正负关系，就能够判别出系统是否稳定。

因为李雅普诺夫第二方法可以不必解出系统的状态方程，就能得到相对准确的结果，从而在目前的生产科研当中使用广泛，但是就一般而言，人们并没有找到一种可以适应所有系统的李雅普诺夫函数的构造方法。任斌在[3]中针对某些种类的系统，归纳总结出了几种李雅普诺夫函数的可能形式。例如，当系统为二阶定常系统时，该函数可能构造的形式为：

为正整数。

而对于诸如以下形式的非线性系统：

该函数可能表示为以下结构：

系统的最优控制，就是通过改变外界对系统的控制，使得系统的功能按特定指标达到最值的过程。李训经在[4]中指出：对于状态方程为的系统，记满足初值条件的解为，则最优控制就是使得功能指标达到最小值的。

当，时，最优控制可以表示为：

其中使得以下Riccati方程成立：

本文在以上文献的基础上，首先引入了系统的状态空间描述以及稳定性的基本概念，然后介绍了李雅普诺夫第一，第二方法以及使用其判别系统是否稳定的相关定理，接着通过相关例子介绍在第二方法基础之上推广的克拉索夫斯基方法，最后在无限维系统中引入最优控制的概念，依据相关定理总结出可行算法，通过解算子李雅普诺夫方程所得到的一系列矩阵，不断迭代从而逼近最优解。

2系统的基本概念及稳定性定义

本节主要介绍系统的定义和状态空间描述，并在此基础上给出系统稳定性的定义，分类及其几何解释。

2.1系统的定义

系统是一些相互联结或制约的元件所组成的一个整体，可以用下图表示。

图1：系统的方框图表示

图中，方框代表系统，方框外象征系统的外部环境。表示外部环境对系统的作用，称为系统输入；而系统在自身结构或者外界因素的影响下，做出对外部环境的作用，称为系统输出，用表示。以上二者共同组成了系统的外部变量。系统的内部变量指的是系统在不同时刻的运动状态，可以用表示。系统的内、外部变量共同决定系统的运动情况。