对称群的性质及应用-毕业论文网

论文总字数：13219字

目录

中文摘要…………………………………………………………………II

英文摘要………………………………………………………………III

引言………………………………………………………………………1

1 n次对称群的相关概念………………………………………………2

2 n次对称群的基本性质………………………………………………3

2.1 常用定理及性质…………………………………………………………………………3

2.2 单个轮换的性质…………………………………………………………………………4

2.3 不相交轮换的运算性质…………………………………………………………………5

2.4 n次对称群的生成元……………………………………………………………………6

3 相交轮换的运算性质…………………………………………………7

3.1 1-相交轮换的运算………………………………………………………………………7

3.2 2-相交轮换的运算………………………………………………………………………8

3.3 至多2-相交轮换的运算………………………………………………………………10

4 应用…………………………………………………………………11

4.1 有限对称群与置换矩阵群的同构……………………………………………………11

4.2 对称群性质在矩阵群中应用…………………………………………………………12

4.3 置换矩阵群的编程应用………………………………………………………………15

参考文献………………………………………………………………16

致谢……………………………………………………………………17

n次对称群的性质及应用

王施伟

，China

Abstract：In this thesis we study some properties of the elements (i.e. permutations, especially circles) of symmetric group . Specifically, we discuss the properties of a single circle, the operational properties of disjoint circles , the operational properties of intersecting circles and the generators of symmetric group . Some formulae are given. Furthermore, the corresponding properties of permutation matrices are given. Finally, we give some programming applications of these permutation matrices.

Key words：symmetric group 、cycle、permutation matrix

引言

次对称群是抽象代数中的基本概念。有限对称群的元素叫做置换，是有限集合到自身的双射。这种自身映到自身的双射对物理、化学、生物等学科上的晶体、分子分类有重要指导作用，其在建筑、艺术等领域也有广泛应用。

聂灵沼、丁石孙[1]、韩士安、林磊[2]等学者的近世代数教材都列举了次对称群的一些基本概念和性质。这些教材上对次对称群内容的描述大同小异，给出的一些性质定理也都是最常见、最基本的结果，诸如置换的轮换分解、轮换的对换分解以及置换奇偶性等等。且对次对称群元素的运算性质也都没有作系统地描述。

文献[3]～[7]研究了次对称群元素的阶，给出了次对称群元素阶的集合的求法，以及元素最高阶的估计等结果，但是目前仍未有人讨论有限对称群元素间乘法运算性质和阶的计算公式。

任一具体置换可以表为多个不相交轮换乘积的形式。那么要研究一系列置换乘积，可以归结到研究一系列轮换乘积。比如如下一些轮换乘积

想要计算它的阶，一般的想法是把它们先按照置换乘法乘起来，再做不相交轮换分解，接着应用相关性质看出其阶。这样的办法计算比较繁琐，所以希望能给出置换乘积的一些计算公式来减少;计算量。本文讨论了某些特殊形态的轮换相乘后的结果及其阶，给出了一些公式化结果。

另外，文献[8]～[10]告诉我们,在群表示论中，任一元置换可以与一0-1矩阵(每行每列只有一个元素为1，其余元素为0的阶方阵)一一对应，这些0-1矩阵集合关于矩阵乘法成一群，称作级置换矩阵群。该一一对应即给出了次对称群与级置换矩阵群的同构映射。那么对于次对称群的研究也可以转换到具体的矩阵群上。不难发现这些0-1矩阵均为正交矩阵，也是一系列初等矩阵的复合。次对称群上的诸多性质，也可以平行地移动到级置换矩阵群上，得到这些特殊0-1矩阵的相关性质。

文献[11] ～[15]也为本文行文提供了一些启发。

本文内容分为四个部分，共对应文章四章。第一部分我们列举次对称群的常用的基本概念;第二部分先探讨置换的一些常用的基本定理和性质，再给出单个轮换的一些性质以及不相交轮换的一些运算性质，最后给出关于次对称群生成元的一些性质;第三部分讨论了相交轮换的运算性质。在此章我们分别讨论共同拥有且仅有一个相交元素的轮换相乘的结果和阶的计算公式，以及共同拥有且仅有两个相交元素的轮换相乘的结果和阶的计算公式，此外再给出一些简单推广后的、更一般化的轮换相乘情形的计算方法;最后第四部分我们先由次对称群与级置换矩阵群的同构出发，平行给出这些0-1置换矩阵的相关性质。由于本文大篇幅介绍轮换性质，我们定义其在置换矩阵群内的对应矩阵为单轮换矩阵，接着我们将第二部分和第三部分讨论的轮换乘积的内容在单轮换矩阵的运算中做出应用。最后我们给出置换矩阵的编程应用，并在此处对第三部分给出的某些定理做出举例。

1 n次对称群相关概念

首先给出置换和次对称群的定义。

定义1.1 设为任一元非空集合。到自身的一个可逆变换称为一个元置换。