论文总字数：12331字

目 录

一、引言 5

二、凹凸函数的定义 5

三、凹凸函数的判定定理 6

四、Jensen不等式 7

五、Jensen不等式的应用 9

六、凹凸函数在不等式中的应用 11

七、总结 13

函数凹凸性在证明不等式中的应用

梁幸

,China

Abstract: The function concave-convex character is an important character of function,which is widely used in the Mathematic programming.In the past we already knew what is concave-convex character,and how to distinguish,and some proofs about it.Now,we are going to studying the application of function concave-convex character in proving inequality.

Keywords:concave convex character, inequlity,application.

一、引言

函数的凹凸性是高等数学中重要的知识点，应用十分广泛，尤其是在解决复杂的不等式证明中，它的效果尤为突出。有时候，面对一个陌生的不等式，我们可以试着用函数的凹凸性来解决问题，在本文中，将集中介绍函数的凹凸性。在文献[1]中给出了Jensen不等式的证明，在文献[2]中介绍了凹凸函数的各种定义，在文献[3]，[4]中介绍了几种凹凸函数在不等式证明中的应用，剩下的文献也给予我很多的帮助和灵感。但是，大多数的文献只讲解了一两类例题。在本文，我们将综合来讲，并且给出具体的实例。

二、凹凸函数的定义

定义1^[1] 若函数对于任意,(a,b)和，恒有

,

则称为区间(a,b)上的凸函数。若不等号反向，则称为区间(a,b)上的凹函数。

定义2^[1] 若函数在区间(a,b)内连续，对于,(a,b)，恒有

,

则称为区间 (a,b)上的凸函数。若不等号反向，则称为区间(a,b)上的凹函数。值得注意的是，定义2是定义1的特殊形式，只需令.

用图像来表示：

凹函数 凸函数

定义3 若函数在区间(a,b)内可微，且(a,b)，恒有

,

则称为区间 (a,b)上的凸函数。若不等号反向，则称为区间(a,b)上的凹函数。

证明：从定义1推导定义3，首先证明凸函数的情形:,(a,b)和，因为为凸函数，有

由于在区间(a,b)内可微，所以有,即

凸函数证毕。同理可证不等号反向时，则为凹函数，证毕。

三、凹凸函数的判定定理

定理1 设函数在[a,b]上连续，在区间(a,b)内存在一阶导数和二阶导数，那么。

证明：我们先来证明时的情况，不妨设,我们有

,

由定义可知为凹函数。同理可得

引理^[2] 函数是区间上的凹函数的充要条件是：对于,恒有

不等式号反号，则为凸函数。

证明：(必要性)设(则,且有,因为

]

所以，从而可得

,

两式联合，有

(充分性)在区间上任取两点,再取一点,使得

所以有

即有

因为从而可得

整理可得凹函数证毕。

同理可得，时，为凸函数，证毕。

定理2 设是在区间上可导，为凸函数的充要条件是：对于,若，有

.

若不等式反号，则为凹函数。

证明：(必要性)假定是凸函数，对于，由上面的引理可知 .

令x趋向并且求极限，我们将分别得到

和

从而

.

(充分性)假定,我们令

=,=,

其中，,所以 ，所以

根据引理可得是凸的，凸函数证毕。同理可得，不等式反号，则为凹函数，证毕。

四、Jensen不等式

定理 ^[1] (Jensen不等式) 若为[a,b]上的凸函数，则

有

证明 (用数学归纳法):当n=2时，条件为，由定义1可得

.

假设时结论成立，即,时，我们有

那么时，设,不妨设，易知

从而有.

记可得 ,

所以

等号当且仅当时成立，同时有 (),所以有

)

=

即().

上式等号当且仅当时成立，证毕。

讨论：什么时候用Jensen不等式解题方便？

只涉及一个函数,有两个及两个以上个数的自变量，例题目中需要求的加权平均时，例 .利用Jensen不等式解题会更加得心应手。

五、Jensen不等式的应用

定理1^[10]幂平均不等式 令,我们称

,分别为的调和平均值，几何平均值，算数平均值，幂平均值(mgt;1),我们有.

证明：(1)证明，不妨设,对于

,所以为凸函数。根据Jensen不等式，有

，

易知=是严格递增的，所以.

(2)证明，不妨设,对于

,所以为凹函数，有

，

易知=是严格递增的，所以.

(3)证明，不妨设,对于

,所以为凸函数，我们可以得到

即,证毕。

定理2^[7]Holder不等式 设则

证明：设=由于,故在区间(0， )上是凸的。

令，所以，Jensen不等式成立,

对于,代入上式可得

把上式代入中可得

即.

将换成,换成,可得

令得，得证。

其中，若,得到这就是我们在数学分析中学到的柯西不等式。

定理3Minkowski不等式 若有

证明:应用Holder不等式，有

定理4三角不等式 若，则有

证明：三角不等式其实也就是Minkowski不等式时的情况，当时，我们又可以得到一个新的不等式：

]

这就是我们平面上的三角不等式。

六、凹凸函数在不等式中的应用

例1、在.

证明：令=所以=

是凹函数，所以有

又因为，所以，得证。

例2、已知,且a b c=,求证：.

证：设函数因为在(0，)上为凹函数，由定义有

=

所以有得证。

例3^[1]、证明.

证明：设 =有

所以在(0， )是凸函数，所以,

,

代入，,得证。

例4^[6]、已知：求证.

证明：设函数=

,

所以函数=是凸函数，设所以

代入有：，可得 ，得证。

例5、设,证明：.

证明：原式可化为，因为上的凸函数，故当agt;0,bgt;0时，有

其中，a=,b=，那么有

得证。

例6、设.

证明：记s=,则,取

易知,所以是凸函数，取,由于Jensen不等式，所以有

得证。

例7、证明：对.

证明：我们注意到，且x,y及系数均为正数，设,则

所以是凹函数，故，即有

所以得证。

七、总结

通过对函数凹凸性的研究，包括函数凹凸性的定义，凹凸性的判定，有关凹凸性的几个重要不等式，以及在具体不等式证明中的一些应用。我们在不等式证明中利用函数凹凸性，会使解题变得巧妙而简练。我们认识到解这类不等式时，关键在于找准函数，若不能直接找出，可以试着对不等式进行变形，从而达到我们的目的。

参考文献：

[1] 高俊宇.函数凹凸性在证不等式中的应用[J].沧州师范专科学校学报，2003.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1998.

[3] 胡小平，胡雪葳.凹凸函数的性质在不等式证明中的应用[J].绵阳师范学院学报，2009.

[4] 何胜明，刘永春.利用函数的凹凸性证不等式[J].中学数学，1994.

[5] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[6] ACM Van Roolj,W H Schikhof.A second course on the real functions[J]. Combrige university press,1982.

[7] 邱忠文，刘瑞金.函数的凹凸性及不等式的证明[J].工科数学，1993.

[8] 宣立新.高等数学(上册)[M].高等数学教育出版社，1999.

[9] Fred Brauer.Fundamentals of Advanced Mathmatics[M].Higher Education Press.2006

[10] 刘柱林.调和-几何-算术-幂平均不等式的新证明[J].数学教学，2009.

致谢

在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师杨全会老师的热情指导，在论文的选题、构思，以及成文定稿方面，都得到了杨老师的悉心细致的教导，在此深深的感谢。

在论文的写作过程中，得到了许多同学老师的宝贵建议，同时，也得到了他们的支持，在此，一并感谢帮助过我，支持过我的良师益友，是他们给了我前进的动力。

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