函数的极值问题

论文总字数：14714字

目 录

摘要 2

关键词 2

引 言 4

1．一元函数的极值 5

1.1 必要条件 5

1.2 充分条件 5

2．多元函数极值 6

2.1 二元函数极值 6

2.1.1 必要条件 6

2.1.2 充分条件 6

2.2 多元函数极值 7

2.2.1 无条件极值的判定方法 7

2.2.2 条件极值的判定方法 7

2.3 Lagrange乘数法 9

3．求函数极值 11

3.1 隐函数的极值 11

3.2 凸函数的极值 12

3.3 积分函数的极值 12

3.4 用其它方法求解函数极值 13

4．函数极值的应用 14

4.1利用极值证明不等式 14

4.2 函数极值在物理几何中的应用 15

结 束 语 16

参考文献 16

致 谢 语 17

函数的极值问题

陈舒婉

, China

Abstract : In this paper, we research the extremum problem of functions. Firstly, it briefly introduces the concepts and theorems of the extremum of one variable function, we generalize the first sufficient condition of the extremum of one variable function, and apply it to the solution of the extremum of multiple functions. Secondly, we not only discuss the extreme value problem of multivariate function, but also find the solutions in various conditions. Finally, we use the function extremum to solve the inequality, physics and other practical applications. In general, we summarize the proof and application of the extreme value problem of the function.

Key words: The stationary point、Conditional extreme value、Implicit function、Lagrange function、Inequality

引 言

函数的极值问题在数学、物理等学科中广泛的出现，并且它涉及的知识面非常广，要求学生有较强的分析和逻辑推理能力，同时也需要掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常有必要的。

本文主要讲解函数极值的判定方法、多元函数极值的求法和多元函数极值在日常生活中的实际应用，从中可以深刻的体会到函数极值的重要性。先根据一元函数极值的判定延伸到多元函数极值的的判定，后面用多种方法求解多元函数的极值，对函数极值的求解做了归纳总结。本文还给出了多元函数的一阶偏导判别准则，在求解时可以避免对函数求高阶偏导的麻烦和在稳定点处无定义所引出的麻烦，对多元函数中的无条件极值、条件极值问题的求解方法进行了归纳与总结，这其中最经常用到的是Lagrange乘数法和一阶微分法。最后讨论了函数极值在实际问题方面的应用，通过具体例子对多元函数在不等式证明、物理几何上的应用做了研究，希望本文中所提及的方法能够为后面的学习提供一定的参考。

1．一元函数的极值

定义1.1 假设一元函数在点的某个邻域内有定义，对，若有，此时，我们称为极大值，为极大值点；若，则称为极小值，为极小值点。我们将极大值和极小值统称为极值。

1.1 必要条件

定理1.1 （费马定理）若函数在点处可导，并且为极值点，那么必有。也

就是说，一个可导函数若要在处取得极值，它的必要条件是。

1.2 充分条件

定理1.2 （第一充分条件）设函数在处连续，并在某个去心邻域内可导：

（1）若在时，有；在时，有，那么在点处取得极小值。

（2）若在时，有；在时，有，那么在点处取得极大值。

（3）若在时，的符号没有变化，那么在点处无法取得极值。

推论1.1 假设表示的是以为中心，为半径的开球，连

续并且在内是可微的，则：

（1）若对，都有，则在点处有严格极大值。

（2）若对，都有，则在点处有严格极小值。

注：表示在的梯度，即

，

其中表示的内积，即

。

定理1.3 （第二充分条件）若函数在处可导，且为二阶导数，并且

，

（1）若有，那么在点处取极小值。

（2）若有，那么在点处取极大值。

注：求一元函数极值的步骤：

（1）确定的定义域；

（2）求出的一阶导数,令，求出定义域里所有的驻点，有些函数还有不可导点（可能极值点）；

（3）利用判定条件判定驻点，然后根据驻点左右两边的符号求出导数，在确定该点为函数的极值点后，进一步判断究竟是极大值点还是极小值点；

（4）最后求出该函数所有的极值。

2．多元函数极值

2.1 二元函数极值

定义2.1 假设函数在处的某邻域内有定义，那么对于该邻域内不同于

该点的点:若满足,那么在该函数在点处有极大值；反之，若满足, 那么在点处有极小值。

2.1.1 必要条件

定理2.1 设函数 在 处的某邻域内有偏导数，并且有 为该函

数的极值点，那么

。

2.1.2 充分条件

定理2.2 假设函数 的驻点为 ，并且在 的某邻域内存在二阶

连续偏导数，我们记作 ， ， ， ，有①若 ，当 时， 为极小值点，反之 时， 为极大值点； ②若 ，则 不是极值点； ③若 ，则无法判断是否为极值点。

2.2 多元函数极值

定义2.2 （无条件极值）假设元函数在的某

个邻域内有定义，若对该邻域内任意一个异于的点有，则在处，该函数取极大值；若，则在该点取极小值。我们将极大值、极小值统称为极值，称为极值点。

定义2.3 （条件极值）条件极值就是函数在个约束条件下取得的极值。

2.2.1 无条件极值的判定方法

定理2.3 （必要条件）元函数，若该函数在点处

存在偏导数，并且为极值点，那么有

。

定理2.4 （充分条件）元函数，若函数在点处

存在二阶连续偏导数，并且为该函数的驻点，则必有：

（1）二次型

是正定时，在该点处取得极小值；

（2）若是负定，取极大值；

（3）若不定，不是极值点。

2.2.2 条件极值的判定方法

定理2.5 假设为开集，若元实值函数在处存在二

阶连续偏导数，且，那么一定有：

（1）当时，在处取得极小值；

（2）当时，在处取得极大值。

例1．求 的极值。

解：求驻点,由 可得，，，

∴所求驻点为，

∵。

∴有 ，易知是正定函数，

∴在驻点处取得极小值，即为

。

例2. 求函数 的极值。

解：求驻点，由 可得 ，

∴所求驻点为，

∵

。

∴

。

∴ ,

又∵ ,，

∴为正定函数，即函数在 处取得极小值： 。

例3. 求函数 在 下的极值。

解：由 得 ，代入，得到

，

可解方程组

，

得出驻点，，

∵，

在点 处， ，

∴在 处无极值。

在点处，，， ，又∵ ，

∴函数 在 处取得极小值： 。

例4. 证明二元函数在原点处存在极大值。

解：∵，，

∴在原点处没有意义，即利用定理2.3无法判别是否存在极值点。

∵，有

，

∴由推论1.1可知,在原点处取得极大值。

例5.求的极值。

解：由题意有 ，

可知在原点处无意义，故无法用定理2.1判断。

∵在处，有

,

∴由推论1.1可知，函数在原点处取得极大值:。

例6.求的极值。

解：由题意有

，

得驻点为。

∵在处，有

，

∴由推论1.1可知，函数在处取得极小值：。

2.3 Lagrange乘数法

定理2.6 假设函数在点的某邻域内存在连续偏导数，构造辅助函数

，

解方程组

，

得出有可能是函数 在 条件下的极值点。

例7. 求 在某区域上的最大和最小值，其中 。

解：由题意有

，

得到驻点，

分别代入函数，得。

当 时， 在区域内最大值是4，最小值是0。

∴在，构造Lagrange函数

，

解方程组

，

得 ,

∴代入函数得 。

∴在区域上最大值是8，最小值是0。

推论2.1 求多元函数在的条件下的极值,可

构造辅助函数

，

解方程组

,

得出有可能是该多元函数的极值点。

例8. 若，，求的最大值。

解：假设，则有

，

化简得到。

∴由该问题的实际意义可知为最大值。

3．求函数极值

3.1 隐函数的极值

例9．假设函数 由方程 确定的，试求函数的极值。

解：方程两边都对求导得到

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