静电场求解方法的研究

论文总字数：7548字

摘 要

：本文主要针对在确定自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如何去求解静电场。主要方法分为两类，一类是直接求解，包括场强叠加原理法和高斯定理，另一类是间接求解，包括电势叠加原理法和电势边值问题法。另外还举出了一些应用实例以便更容易理解这些求解方法。

关键词：静电场;叠加原理;高斯定理;电势;边值问题;分离变量

Abstract: In this paper, the solving methods of electrostatic field are investigated under which conductions of the free charge distribution and space dielectric and conductor distribution are given. The main methods are divided into two categories, one is solution directly, including the superposition principle of electric field intensity and the Gauss theorem, another kind is the indirect solution, including the superposition principle and boundary problem of electric potential. It also gives some application examples to make it easier to understand the solving method.

Keywords: electrostatic field; superposition theorem; Gauss theorem; potential; boundary value problems; separation of variables

目 录

1 引言 4

2 直接求解场矢量方法 4

2.1高斯定理 4

2.2场强叠加原理 7

2.3 其他 8

3.间接求解势函数方法 9

3.1电势叠加原理 9

3.2 电势边值问题 10

3.2.1电势满足的定解方程与定解条件 10

3.2.2齐次方程的求解 10

3.2.3非齐次方程的求解 12

结束语 14

参考文献 15

致谢 16

1．引言

稳恒电场的求解方法是电磁理论的重要内容，虽然在经典电磁场的学习与研究中会遇到静电场、静磁场、时变(迅变)场等各种电磁场,但作为学习经典电磁理论的第一步首先遇到的是静电场或者稳恒电场，它是以后学习的基础，更为重要的是它给出“场”的方法论的启迪；此外，稳恒电场的求解虽然不是个新问题，但具体求解时有一定难度和深度，内容丰富，方法多样。对于这类问题的处理，电磁学以及它的后续课程电动力学给出了不同方法。两门课程的着重点各有侧重，前者注重直接求解，而后者注重间接求解。本文较全面地分析和处理静电场求解的问题并归纳总结这两类方法的特点。从简单到复杂，首先研究直接求解的方法，诸如电场叠加原理、高斯定理等，最后研究间接法,即根据电场与电势的关系先求电势再求电场。本文力求将这些方法系统归纳总结，以便形成一个求解静电场的较系统的知识体系。

2．直接求解场矢量方法

2.1 高斯定理

理论上高斯定理适用于任何的电荷分布和电场分布，欲确定场矢量则需要场矢量所满足的两个场方程，如散度和旋度。然而当所要处理的稳恒电场问题具有某种对称性时(球对称，轴对称，面对称)^[1，2]，加上这些信息后，我们可以单独地只用高斯定理就能求解出场矢量。高斯定理的积分形式和微分形式分别为

（1）

（2）

为了说明定理的具体应用与意义，下面给出一个实例。设有一半径为的均匀带正电球面，电荷为，放置在真空中，如图1所示，求空间任一点的场强。很明显，电荷的分布具有球对称性，因而电场的分布也具有球对称性，我们取一半径为的高斯面，在高斯面上各点的电场大小相同，方向沿径向。若场点，高斯面在球壳内，对球面用（1）式得电通量

因为球壳内无电荷，即，所以。

图 1

若场点位于球外，则，高斯面在球壳外，对球面用（1）式得，故有

可以验证

，

即解答满足场方程，其中用到函数及电荷面分布的体密度表示：，。

以上内容看上去是简单的，但在初学电磁理论时，由于受时间等诸多因素限制，往往是比照葫芦画瓢式地练习与巩固高斯定理的应用，知其然少问其所以然，特别是形式之外的原理、深刻含义与注意事项常被忽视，在此需要指出：①单独运用高斯定理就能解答出场矢量，这是有严格条件的，即在解决静电场问题时高斯定理并非是万能的。②如若单独运用高斯定理不能解答出场矢量，则不能就直接否认高斯定理本身的正确性，例如均匀带电密度为的椭球体、均匀带电面密度为的有限大小的圆盘等的电场，虽然不能单独运用高斯定理给出答案，但高斯定理仍然是正确的，只是此时单独运用高斯定理解答的条件不充要。③对高斯定理本身的理解或使用中要素的把握须深刻。例如，过所求场点作合适的高斯面，或说场点一定是在高斯面上；高斯面的电通量只由面内电量的代数和完全决定，这是对面积分之结果的整体表述，言外之意，面外电荷分布对这一结果没有影响，但高斯面上各点的场是由面内、面外所有电荷共同激发的，这里表述的是两层意思，电荷、电场、电通量之间虽有密切关系，但不是一回事，高斯面的电通量为零不代表高斯面上各点的电场处处一定为零，也不代表面内一定无电荷分布，例如高斯面内存有一电偶极子情况即能说明问题。

此外，有些问题从整体上看电场分布不具有某种对称性，不能单独用高斯定理给予解决，但在局部区域、借助一定的物理模型，若能将高斯定理中面积分的被积函数单一地提出积分号外，剩下的问题就是计算高斯面内的电量代数和(积分或累和)，便可以单独使用高斯定理解答。如图2所示的不规则导体表面，导体处于静电平衡，计算导体表面附近的电场强度的大小。虽然导体外的电场分布是不均匀的，但考虑到静电平衡条件，我们仍然

图-2

可以利用高斯定理解题。在导体表面取一面元，作如图2所示的圆柱形高斯面，设面元处导体上电荷面密度为，由于导体外高斯面上的场点非常近于导体面，将面视作大平面。高斯面的电通量为

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