狄拉克方程与电子自旋

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摘 要

关 键 词：狭义相对论，矩阵表示，狄拉克方程，电子自旋

Abstract: Assuming that the number of particles is conserved as well as taking relativity into consideration, we get the Dirac equation according to the energy-momentum relation of free election between low energy and high energy. At last, we deduced the spin of the Dirac particles as/ 2，and broke the embarrassing situation that non-relativistic quantum mechanics introduced the spin。

Keywords: Special theory of relativity, Matrix representation，Dirac equation, Electron spin

目录

1 绪论 4

2 狄拉克方程 5

2.1 狄拉克方程 5

2.2 和的矩阵形式 6

2.3 狄拉克粒子的自旋 8

结论 10

参考文献 11

致谢 13

1 绪论

在量子力学中，薛定谔方程是作为一个基本原理引入的，由于它没有顾及到相对论效应，所以只适用于粒子数守恒的低能体系。在高能领域，通常会涉及到粒子的产生与湮灭，粒子数守恒被破坏，将会遇到真正不同粒子数的问题，这已经超出了薛定谔方程的使用范围。严格的讲，这样的问题应该用量子场论的方法来处理，但量子场论是高等量子力学的后续课程。

为了解决非相对论性矛盾,1926年,克莱因和高登类比单粒子的薛定谔方程,利用对应方式将其推广到相对论情况,得到了第一个相对论性波动方程(以下简称K-G方程)。K-G方程提出来以后,人们却发现它存在着以下3个方面的问题:

1. *不是正定的,无法解释为粒子的位置概率;
2. 由于总能量可以取正负两个值，也就出现了负能量的问题，而且与负能量问题紧密联系的还有负概率问题；
3. 因为方程中出现时间的二阶导数,所以就不能再将解释为量子态的时空表象。

就可以得出,K-G方程无法纳入已有量子力学的框架,然而又不能简单地否定这一个方程,因为这个方程的非相对论极限正是单粒子的薛定谔方程。同时,由这一方程导出的流密度连续性方程与非相对论流密度连续性方程也非常近似.如此看来,既然K-G方程符合相对论的要求,那么很可能不是方程不对,而可能是态函数不对,即态函数在满足K-G方程的同时,还要满足另一个比这个方程要求更高的方程,使之从理论上同时满足相对论条件,并能纳入现有量子力学的框架.狄拉克着手寻找相对论运动方程的另一形式,并希望它是一个对时间的一阶方程,以便纳入已有的量子力学框架,同时要求它的解仍能满足K-G方程。他认为新的方程要符合下列3项原则:

(1)能够保证概率密度;

(2)保证总概率守恒,即;

(3)作为相对论性波动方程,要求方程具有洛仑兹不变性。

狄拉克认为从K-G波动方程导出自由粒子出现的概率密度之所以是非正定的,是由于波动方程中含有波函数ψ对时间的二次微分导数,如果采用非相对论的薛定谔波动方程中对波函数的一次时间偏导数,其概率密度ρ(x.t)= ²≥0就可得到保证。由于考虑到所求得的波动方程必须是洛仑兹协变的,在该方程中的波函数ψ对空间坐标的偏导数也必须是一次的。

2 狄拉克方程

2.1 狄拉克方程

KG方程当中有着负概率问题的困难，人们认为它是由于对时间的二阶偏导导致的。为了解决这个问题，狄拉克根据粒子的能量动量关系：

（2.1）

将其算符化，这样可以将对时间的二阶偏导规避掉，但是，上式却含有非线性的开方运算，并不能够符合线性算符的要求。狄拉克凭借其深厚的数学造诣，在形式上给出了这个开方的结果：

（2.2）

其中的和不是普通的常数，分别为矢量算符与标量算符。显然 ，由式（2.2）定义的能量算符是一个线性算符。

利用算符化规则，由式（2.2）立刻得到自由粒子满足的狄拉克方程

（2.3）

式中的哈密顿算符为：

（2.4）

类似于薛定谔方程的建立过程中所做的假设，认为即使粒子处于势场中，狄拉克方程也是成立的，只不过其中的哈密顿算符变成

(2.5）

这时的狄拉克方程为势场中粒子满足的狄拉克方程。

狄拉克方程是一个关于时间的一阶微分方程，由于它在形式上与薛定谔方程类似，所以，它有可能克服负概率的困难。通常将满足狄拉克方程的粒子称之为狄拉克粒子。

2.2 和的矩阵形式

若要求解上述的狄拉克方程，必须给出其中的算符和的具体形式。下面先讨论算符和应满足的条件和所具有的性质，然后导出它们在表象下的具体形式。

2.2.1. 和应满足的条件

由式（2.2）的量钢皆为1，并且两者都与时间和坐标无关，即它们都与坐标和动量算符对易。

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