标量Yang-Mills场的具有非平庸Hopf量子数真空解的性质

论文总字数：41485字

摘 要

本文主要探讨了带有非Abel规范相互作用的标量Yang-Mills场的带有非平庸Hopf量子数的真空解的一些性质。

首先，本文介绍了前期的一些数学准备，主要是有关群论和微分几何的知识，因为在后面的讨论中要大量的运用SU(2)群，以及外微分、同伦群、同调论之类的知识，群论用来处理对称性相关的问题，而微分几何则用来处理有关Hopf映射相关的计算。然后本文通过四元数的方法介绍了一种Hopf映射，即与之间的映射。之后介绍了对称性自发破缺的理论，标量场电动力学理论（即和U(1)规范场耦合的标量场）的孤子解，3 1维标量SU(2)Yang-Mills模型的具有非平庸量子数的磁单极子解，以及4 1维标量SU(2)Yang-Mills模型的具有非平庸Hopf量子数的瞬子解的相关内容。这里面的一些计算对于我们未来的研究内容有一定的帮助。

最后，我们首先将Hopf不变量表示为Chern-Simons形式，然后讨论了4 1维Yang-Mills-Higgs模型的具有非平庸Hopf量子数的瞬子解的相关性质，以及其对应的拓扑荷的物理意义。

关键词：SU(2)群、外微分、Hopf映射、同伦、同调、孤子、瞬子、规范变换

The property of topologically nontrivial vacuum solution in Yang-Mills-Higgs model

Abstract

In this thesis, we discuss about the property of topologically nontrivial vacuum solution to the Yang-Mills-Higgs model.

First, we introduce the preliminary knowledge about the mathematics, mainly focusing on the group theory and the differential geometry since the former can help us solve the problem associated with the symmetry and the latter can deal with the complicated calculations related to the Hopf mapping. For the group theory, we discussed the basic concepts about the Lie group, and then focused on SU(2) group which is a special Lie group. For the differential geometry, we discussed the concepts about the exterior differentiation, homotopy and homology. Next we introduce the method of quaternion which can easily visualize the Hopf mapping, we went on discussing the spontaneous symmetry breaking, the soliton-type solution in scalar electrodynamics, the monopole solution with nonzero Hopf invariant to the 3 1DYang-Mills-Higgs model, and the instanton-type solution with nonzero Hopf invariant to the 3 1D Yang-Mills-Higgs model. These solutions are useful for our future research.

Finally, we put forward to a topological defect or instanton solution with nonzero Hopf invariant to the 4 1D non-Abelian gauge theory coupled with scalar fields. We discuss it in details. It can shown that the Chern-Simions term for unbroken U(1) gauge field may apper in the low energy effective theory.

KEY WORDS: SU(2)group, exterior differentiation, Hopf mapping, homotopy, homology, soliton, instanton, gauge transformation

目录

摘要…………………………………………………………………………………1

Abstract ………………………………………………………………………2

1. 绪论 ………………………………………………………………………4

2.1引言…………………………………………………………………4

2.1研学目的和主要研学内容………………………………………………5

1. 本文所使用的数学知识………………………………………………5

2.1 群论 ……………………………………………………………………5

2.1.1 李群………………………………………………………………6

2.1.2 SU(2)群的线性表示 ………………………………………7

2.1 微分几何 ………………………………………………………………10

2.1.1 外微分……………………………………………………………10

2.1.2同伦群与同调论 …………………………………………………14

1. 研学内容………………………………………………………………20

3.1 Hopf映射 ………………………………………………………………20

3.1.1 旋转和四元数……………………………………………………21

3.1.2三维球面，转动……………………………………………………23

3.2对称性自发破缺 ……………………………………………………24

3.3孤子 ……………………………………………………………………26

3.4瞬子 ……………………………………………………………………31

3.5 标量Yang-Mills场的具有Hopf拓扑量子数的瞬子解…………………32

结论………………………………………………………………………………40

致谢………………………………………………………………………………40

参考文献（References）……………………………………………………………41

1. 绪论
   1. 引言

带有非Abel规范相互作用的标量场(即标量Yang-Mills模型)的带有非平庸Hopf量子数的真空解有许多有趣的性质。如它和氦3超流、非传统超导体和旋量BEC中的联系，或者是和其他拓扑非平庸的真空解的联系，如二维Skymion线、磁单极子线和Yang-Mills瞬子。对于磁单极子，虽然我们在自然界中没有发现，但是它已经吸引了许多理论物理学家的关注，因为它在粒子物理学中十分重要，而且它使得麦克斯韦方程组有了完整的对称性，同时也可以解释有关电荷量子化的现象。最初磁单极子的解由狄拉克预言，当时他认为既然电子能够存在，那么理应也该有一个带有磁荷的粒子存在。然而，在他的模型中，矢势是在狄拉克线上的一些单一的点。这个问题后来由t’Hooft和Polyakov解决。狄拉克的理论意味着在空间维数大于1的情况下标量场没有稳定的孤子解。但是通过标量场和非Abel规范场的耦合可以找到一个稳定的磁单极子解。

t’Hooft-Polyakov磁单极子带有拓扑荷，因此我们可以自然的将其与同伦群联系起来。而狄拉克磁单极子的磁荷则与同伦群的Hopf不变量有关。因此同样的拓扑荷，由于与其耦合的规范场的不同，其所属的同伦群也不同。

一般而言，对于不同的同伦群，应该给出不同的拓扑孤子。如2 1维情况下，的缠绕数给出了Skyrmion类型的解；而用同样的方法，可以发现同样的模型也具有一种与非平庸Hopf不变量（即量子数）有关的瞬子类型的解。对于，在3 1维的情况下，有另外一大类拓扑孤子，我们将其称为Hopfion。这个解也被推广到了Yang-Mills-Higgs模型，以及自旋玻色-爱因斯坦凝聚等。

• 1. 研学目的和主要研学内容

本文主要通过对相关数学物理知识的学习和应用，讨论了4 1维非Abel标量规范理论，找出一个有非零Hopf不变量的拓扑非平庸解。这个解在4 1维的空间部分可以看作孤子解，在3 1维理论中可以看作是瞬子解。这里非平庸Hopf量子数和非Abel磁单极子的关系类似于skyrmion和非线性模型的瞬子解的关系。对于这种解，SU(2)规范群会自发破缺为U(1)规范群，从而会出现Chern-Simions项，解的拓扑荷，Chern-Simions量子数。

在学习文献的过程中，需要了解大量的有关群论，微分几何，量子场论的知识，这些知识也为了今后研究生的进一步工作打下了基础。

本文在第2章中主要介绍了所必要的一些数学工具，比如有关SU(2)群的线性表示等、外微分、同伦群和同调论的相关知识。群论主要用于处理与对称性相关的问题，而拓扑知识与微分几何则主要用于处理与Hopf映射相关的计算。在第3章中，我们首先给出了一种用四元数描述Hopf映射的方法，该方法可以让我们更加直观地从几何图像上了解Hopf映射；然后介绍了对称性自发破缺的理论，以及孤子和瞬子的相关定义和计算，在本章的最后给出了在4 1维标量Yang-Mills模型的具有非平庸Hopf量子数的真空解的相关计算，讨论了它的拓扑性质以及物理意义。

第二章本文所使用的数学知识

2.1 群论

群论本身是一种抽象的代数理论，它有其自身的特点和规律性。但是其在物理学各个领域都有广泛的应用。在量子理论建立以后，对称性的内容更加丰富了，而通过运用群论的方法研究量子系统的对称性，我们可以得到系统的许多重要性质。这里主要介绍群的基本概念，以及SU(2)群。

群的定义在规定了元素的乘积之后，元素的集合G如果满足以下4个条件，那么该集合便可以称之为群。

1. 封闭性。即：集合中任意的两个元素的乘积依旧为此集合的元素，可以表达为：

(2.1.1)

1. 结合律。表达式为：

(2.1.2)

1. 存在一个恒元E，用它乘以集合中的任意元素，该元素保持不变。可以表达为：

(2.1.3)

1. 任意元素R在该集合中都存在其逆元，即相乘等于恒元E，可以表达为：

(2.1.4)

满足上述条件的集合便可以称之为群。

2.1.1 李群

李群是一种连续群，它的每一个元素都可以用一组独立实参数来描写，这组参数在欧式空间的一定区域内连续变化，并且要求在参数变化区域内，群元素和参数值都有一一对应的关系。参数的变化区域称之为群空间，独立实参数数目成为连续群的阶，群空间的维数与连续群的阶数相等，均为g。

群元素的乘积对应了群空间中点的移动。用一个组合函数描写群元素的乘积中参数的函数关系。设元素，参数为，写作：

. (2.1.5)

若R(r)S(s)=T(t)，则是2g个变量和的函数：

. (2.1.6)

函数称为连续群的组合函数。如果该组合函数是解析函数的话，那么此连续群则成为李群。因此，通过微积分，我们可以更深入的研究李群。

作为群的组合函数，须满足以下条件：

1. 封闭性。即群元素的乘积依旧为群元素。
2. 结合律。。
3. 恒元的参数为，它包含在群空间内，即：。
4. ，即：。

群的许多概念在李群中同样适用，例如阿贝尔群子群，陪集，共轭元素，

类，不变子群，群的同构和同态，商群，线性表示，等价表示，不可约表示，自共轭表示，特征标等概念都是李群的基本概念。李群线性表示的每一个矩阵元素和特征标，在群空间有测度的区域内，都是群参数的单值解析函数。

2.1.2 SU(2)群的线性表示

群的表示指利用已知的具体数学元素（一般特指矩阵）直观地将某个群的抽象数学结构表达出来。SU(2)群是一种特殊的李群的元素，它可以视作二维复空间的幺正变换：

. (2.1.7)

SU(2)群的不变函数空间为由和的n此齐次函数所构成的n 1维函数空间。取如下线性无关的基：

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