论文总字数：55295字

摘 要

由于数字化存档系统以及数字化医疗的推广，目前已经有海量的临床高质量CT图像，并且数量还在飞速地增加。分析大数据，提取先验知识就像医学专家诊断质量差的CT图像。这样的先验知识可以很大程度地提高极端低辐射CT成像的重建图像质量。为了获得这样的先验知识，需要从海量的医学CT影像中学习出能够代表这些海量的图像的稀疏表示。该先验知识将以惩罚项的形式应用于基于模型的图像重建的代价函数中。

本文首先概述了图像稀疏表示的发展状况，并介绍了经常在稀疏表示中使用的字典学习算法。 本文详细地介绍了Ravishankar等人提出的稀疏变换学习模型。稀疏变换学习是在变换域中，学习出一个作用在图像上的稀疏变换矩阵。为了保证学习得到的矩阵是良态的，需要在代价函数中加入行列式惩罚项来保证满秩、非奇异。而为了防止缩放模糊现象出现，对稀疏变换矩阵的Frobenius范数进行限制也是有必要的。本文介绍了Ravishankar等人从稀疏性角度给出的解析解，其求解过程可分为稀疏编码和变换更新两步。实验结果证明，稀疏变换学习算法能够既快又准确的对图像进行稀疏表示。除此之外，本文介绍了稀疏变换学习算法在图像去噪领域中的应用。稀疏变换学习算法能够较好地去除图像中的加性高斯噪声。

本文第四章结合外积和的性质，提出了一种新的稀疏变换学习算法，并给出了详细的推导过程和解析解。但由于原价值函数中行列式惩罚项无法被简单地拆成外积和的形式，本文提出的代价函数中不包括对稀疏变换矩阵行列式的惩罚项。对新算法进行验证后表明，基于外积和的稀疏变换学习模型没有加快算法的计算速度，反而降低了图像稀疏表示的质量。

关键词：稀疏变换学习、图像去噪、外积和、稀疏表示。

RESEARCH ON CT IMAGE BASED SPARSIFYING

TRANSFORM LEARNING METHOD

Abstract

Due to the promotion of digital records system and digital medical care, there has been a large number of clinical high quality images. And its number is still increasing rapidly. The action to analyze such big data to extract prior knowledge is just like doctors diagnosing poor quality images. Such prior information can largely increase the quality of CT images that are constructed with ultra-low dose of radiation. To learn such knowledge, it’s necessary to learn thre sparse representation of images from many CT images. These prior knowledge will be in the form of penalty in the cost function of medical image reconstruction.

This article first introduces the development of sparse representation of images, and the common dictionary learning algorithm. The main body discusses about the transform learning model proposed by Ravishankar et.al. Transform learning is to learn a sparsifying transform for images in the transform domain. To enforce that learned matrix is well-conditioned, penalty terms need to be added into the cost function. To avoid scaling ambiguilty phenomenon, Frobenius norm of matrix is a must. Besides, the article introduces the analytical solution deducted by Ravishankar et.al. Its solving process can be devided into 2 parts: sparse coding part and transform update part. The results of experiments reveal that the sparsifying transform learning algorithm can be used to make sparse representation of images quickly. For application, this new algorithm is applied to denoise pictures, especially for additive Gaussian noise.

The fourth chapter of this article combines the properties of outer-product. New algorithm of sparsifying transform learning is put forward. But due to the reason that penalty term in cost function cannot be divided into outer-product form, the cost function here doesn’t include determinant penalty term, which gives rise to the situation that new algorithm doesn’t speed up the original algorithm and quality of sparsifying image is reduced.

KEYWORDS: Sparsifying Transform Learning, Image Denoising, Outer Product, Sparse Representation.

目录

摘要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1 引言 1

1.2 基于字典学习的稀疏表示技术研究现况 2

1.2.1 综合字典模型 3

1.2.2 分析字典模型 4

1.3 论文的研究工作 6

1.3.1 论文的研究内容 6

1.3.2 论文的内容安排 7

第2章 稀疏变换学习 8

2.1 引言 8

2.2 问题定式 8

2.3 价值函数 10

2.4 算法求解与分析 12

2.4.1 稀疏编码 12

2.4.2 变换更新 13

2.4.3 算法计算复杂度 16

2.5 算法流程 16

2.6 实验结果与小结 17

2.7 小结 22

第3章 基于稀疏变换的图像去噪 23

3.1 引言 23

3.2 价值函数 25

3.3 算法求解与分析 25

3.4 实验结果 27

3.5 小结 31

第4章 基于外积和的算法 33

4.1 引言 33

4.2 基于外积和的字典学习算法 33

4.3 算法求解与分析 34

4.3.1 稀疏编码 34

4.3.2 字典更新 36

4.4 基于外积和的稀疏变换学习 37

4.5 算法求解与分析 38

4.5.1 稀疏编码 38

4.5.2 变换更新 39

4.6 实验结果 41

4.7 小结 44

第5章 总结与展望 45

参考文献 47

致谢 49

绪论

引言

在信号处理的领域内，信号的“简单性”一直是学者们钻研考虑的性质之一[1]。“简单”的信号，其信号通常具有简单的，确定的结构，可以被稀疏地表示。利用信号的稀疏性，学者们可以更好地求解各类“反问题（inverse problem）”，例如图像恢复，图像去燥。信号的稀疏性也引起了压缩感知（Compressed Sensing）[2][3]这一领域的兴起。我们知道，根据“奈奎斯特——香农采样定理”[4]，如果要不混叠地从离散的采样样本中重建出原信号（带限），需要采样频率至少等于原信号中的最高频率的两倍。这是基于信号的带宽为先验知识所推导出的采样理论。然而，当信号的频率很高，按此理论所需要的采样带宽有时候则是难以实现的。为了尽可能地降低采样过程中所需要的采样频率，学者们发现，如果信号本身是具有某种结构特征，或者可以被稀疏地表示，即拥有“稀疏性”，那么结合这一性质，采样信号可以不严格地遵循香农采样定理。这在保证信号能够被完整恢复的条件下，大大降低了采样信号的频率。换言之，这是基于信号的稀疏性为先验知识所推导出的采样理论。

自从学者们对信号的稀疏性的研究越来越深入，其理论已被广泛地在各式信号处理应用中得以使用。众所周知，信号和图像是可以在解析的变换域中被稀疏表示的，比如小波变换（Wavelet）[5]和离散余弦变换（DCT）[6]。图像压缩标准JPEG2000就是基于信号的稀疏性进行开发的[7]。除了利用小波变换和离散余弦变换，两种稀疏表示模型也被学者提出用于稀疏表示，即综合模型和分析模型。[8]。从综合模型来看，信号可以由一个字典中若干元素的线性组合来进行表示。通常其表示系数（Representation）是稀疏的，即大多数系数为零。利用该字典，信号可以用很少量的元素来进行表示、刻画。从分析模型来看，信号经过某种分析算子变换后成为了稀疏的。该分析算子将信号投影到了一个子空间内。针对两种模型分别提出的不同算法将在后文介绍。但需注意的是，目前的模型并没有考虑对变换进行学习这一新的思维[9]，这一新的思路将有助于解决医学成像（CT, MRI）中成像速度慢，成像质量低等问题。

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