摘 要

优先连接机制是无标度网络模型的一个重要特性，无标度网络中最重要的模型就是BA模型，本文提出了一种新的改进BA模型，并运用MATLAB对随机连接网络模型、BA网络模型、改进BA模型进行了仿真，并对演化后网络中各节点增长的度值进行了曲线拟合，最后对这三种模型进行了分析，所得结果对于基于优先连接机制的随机网络的结构性质的研究具有重要的指导意义。

本文主要研究基于优先连接机制的随机网络的特性，并基于网络拓扑结构的数学特性、经典的生成网络模型提出了一种新的改进的BA模型，同时对原有的随机网络模型和BA模型以及改进BA模型进行仿真，从而探讨了其三者的区别与联系。本文主要使用MATLAB仿真了BA网络模型与随机连接网络模型以及改进BA网络模型，获得了新加入节点在三种不同方式下与原网络连接得到的网络模型，从而得到了模型中各节点的度及其度分布，之后通过对网络中各节点增加的连边数进行函数拟合，对比结果显示新改进BA模型完全符合优先连接机制的特性。

本文的特色在于提出了一个新的优先连接模型，并用MATLAB对随机连接模型、BA模型、以及改进的BA的模型进行了仿真，并对着三种模型模型都进行了曲线拟合，最终确认改进BA模型符合优先连接规律。

关键词：复杂网络；优先连接；生成网络；度分布

Abstract

The priority connection mechanism is an important characteristic of the scale-free network model.The most important model in scale-free networks is the BA model.This paper proposes a new improved BA model and uses MATLAB to model the random connection network and BA network and the improved BA network.The improved BA model was simulated, and curve fitting was performed for the degree of growth of each node in the evolved network.Finally, the three models were analyzed,The result shows the structural properties of the random network based on the preferential connection mechanism.

This paper mainly studies the characteristics of random networks based on the preferential connection mechanism, and proposes a new improved BA model based on the mathematical characteristics of the network topology and the classical generation network model. At the same time, the original random network model and the BA model are a simulated by MATLAB, thus exploring the differences and links between the three model. This article mainly uses MATLAB to simulate the BA network model and the random connection network model as well as the improved BA network model. The network model obtained by joining the new node with the original network in three different ways, and the degree of each node in the model is obtained. After the degree distribution, the function fitting is performed by adding the number of edges of each node in the network. The comparison results show that the new improved BA model fully accords with the characteristics of the preferential connection mechanism.

The feature of this paper is to propose a new preferential connection model and use MATLAB to simulate the random connection model, the BA model, and the improved BA model. The three model models are all curve-fitted and finally confirmed that the improved BA model performs the preferential connections.

Key Words：Complex network; Preferential Attachment; generation network: degree distribution

目录

第1章绪论 1

1.1研究的意义 1

1.2研究的概况 1

1.2.1网络导论 1

1.2.2现实网络 2

1.3网络结构 6

1.3.1网络复杂性 7

1.3.2网络的拓扑性质 8

1.4本章小结 9

第2章MATLAB仿真模型 10

2.1优先连接的定义 10

2.2随机增长模型 10

2.2.1建立模型算法 10

2.2.1随机连接模型MATLAB仿真 11

2.3 BA模型 13

2.3.1建立模型算法 13

2.3.2 BA模型MATLAB仿真 14

2.4改进的BA模型 16

2.4.1建立模型算法 16

2.4.2改进BA模型MATLAB仿真 17

2.5本章小结 20

第3章分析和展望 21

3.1仿真结果分析 21

3.2 未来展望 24

参考文献 25

附录 27

致谢 32

第1章绪论

1.1研究的意义

随着经济的快速发展和科学技术的不断进步，特别是21世纪以来，各国军事经济竞争日趋激烈，企业之间的信息交流越来越频繁，个人获得知识的渠道越来越多，因此，技术创新、管理创新已经成为个人及企业乃至国家发展的要求，但长期有效的发展离不开团体之间合作，在目前的产品生产、项目实施过程中，通常需要几个国家、地区和不同技能的人来完成。例如，国际空间站的运作需要美国、俄罗斯甚至欧洲联盟等大国之间的合作才能维持运行。因此，国家、地区、企业和个人之间进行合作应该遵循什么样的合作规则成为学者们关注的焦点。总体来说，个人、企业和国家都愿意选择行业内优秀和熟练的合作者，这就涉及到了优先连接问题，而合作者又选择什么样的合作者呢，这就涉及二次优先选择问题，多次择优之后最终形成了什么样的网络，有什么样的拓扑特性，这就成了我们探究的重点。

1.2研究的概况

1.2.1网络导论

网络由点集和边集组成，如今以网络形式出现的系统很多，比较典型的现实网络有互联网，社交网络，生物网络，技术网络，经济与金融网络，电力与交通网络，神经网络，代谢网络，食物网络等网络^[1]，由于现实网络得到了大量应用，在人类社会中扮演着越来越重要的作用，所以网络结构的复杂性及其网络功能的多样性得到了广泛的重视，越来越多的学者进入网络这一领域进行研究并获得了很多卓越的成果。网络研究在数学领域也得到了很大的应用，在数学图论理论中，网络研究是离散数学的基本支柱之一，学者们对于网络的图表示法的研究起源追溯到欧拉1735年对”konigsberg七桥问题“所提出的解决方案^[2]，欧拉此次提出的解决方案被视作人类第一次对网络的结构采用图论理论来进行分析，此次解决方案对网络的图论研究奠定了基础。在之后的研究中，图论已经得到了很大的发展，到二十世纪早期，图论已经逐渐发展成为一个庞大复杂的知识体系，蕴含了很多数学相关知识，复杂网络也在社会科学领域得到了广泛的应用与研究,学者们对于网络的研究分析的重点逐渐放在了由节点的非线性行为所产生的复杂性上，其中突出代表有：斑图的涌现以及时空混沌的产生，其中典型例子有耦合印象格子^[3]和细胞神经/非线性网络^[4]。随后在20世纪50年代，Erdös 和Rényi基于传统经典图论的研究，提出了ER随机图模型^[5]，此ER随即图模型更加接近实际网络的结构，此ER随机图型得到了广泛的研究，随机图理论的提出被认为是数学上开创来复杂网络拓扑结构的系统性研究^[6]，并至今随即图理论仍然在复杂网络的分析中扮演重要角色。虽然该模型表现了节点连接的随机性，但节点与节点之间的度的差异甚小，度分布服poisson分布，其度分布的图像类似钟型曲线，但现实网络模型中节点的度有许多差距很大。为了解释网络中的其他规律，构建一个更贴近于现实网络的模型，在1998年，Watts和Strogatz提出了小世界网络模型^[7],该小世界模型不仅维持了原有的ER随机网络模型的边连接的随机特性性并基于此增加了新的网络拓扑性质：小世界网络模型的其他节点的度相对于初始节点的度要小一些，小世界网络的度分布呈指数衰减趋势。随后在1999年，Barabási和Albert在万维网拓扑结构的研究中发现万维网的入度和出度分布于之前提出的小世界网络模型和ER随机网络模型服从的柏松分布有着明显的不同，但可以用幂律形式来描述此种现象，基于此种这一现象，他们提出了无标度网络模型^[8-9]。基于此BA无标度网络模型研究成果，学者们对于BA无标度网络进行了更加深刻的研究，其中主要突出的研究包括了无标度网络模型的病毒传播^[10]，鲁棒性^[11]等动力学过程，疾病传播机制^[12-13]，级联故障^[14]，并基于这些研究提出了局域演化网络模型的改进模型^[15]、适应度模型^[16]等更接近现实网络的模型。在所有网络研究中，研究者们最重要的研究领域为无标度网络演化的性质，并得出具有无标度特性的网络演化的两条性质：均匀增长和优先连接。这两条性质中，对于演化网络是否具有无标度特性起到决定性的作用的是优先连接，这学者们的研究中，已经证明在网络演化过程中采用线性优先连接方式可以获得无标度网络，但网络演化过程中采用非线性优先连接方式将会使其不再服从幂率分配，从而影响最终演化网络的度分布。关于复杂网络优先连接机制的讨论仍在探索之中，本文将进一步探索优先连接机制在最终演化生成网络的的结构特性以及其拟合曲线。

1.2.2现实网络

1信息网络

信息网络的典型例子是学术论文之间的引用网络。大多数的研究文章引用了其他学者在此领域所完成的工作，于是这些引用就形成了一个引文网络，其中文章被定义为节点，而A引用B定义为A到B的有向边，引文网络之所以被称为信息网络是因为其网络反映了节点所存储的信息的以及节点的信息交流。论文只能引用那些已经完成的论文，因此，引文网络中所有的有向边都会指向于已经完成的的论文，导致引文网络很难出现闭环网络结构，只有极少一部分为闭环网络。引文网络为研究者们提供了大量而精确的数据从而成为科学研究中一个非常重要的研究对象。引文网络的定量研究的起源可以追溯到阿尔弗雷德洛特卡于1926年开创的科学生产力法则，该法则规定个别科学家撰写的论文数量分布遵循幂律。也就是说，写过k篇论文的科学家的数量随着某些常数而下降。关于引文模式的第一个研究工作是在20世纪60年代进行的，由于大量的引文数据库使得尤金加菲尔德和文献计量学领域的其他研究者进行研究工作成为可能。基于这些研究工作，该作者发现了网络的出度和入度分布服从幂律分布。自此以后，许多关于网络的研究一直使用引用网络数据库中更优质的资源，信息网络的非常重要的例子是万维网，万维网中包含信息的网页网络被定义为节点，通过链接从一个网页链接到另一个网友被定义为有向边。互联网不应与引用网络相混淆，因为互联网是由光纤和其他数据连接连接在一起的计算机的物理网络与引用网络不同，万维网很容易呈现闭环特性，因为万维网的连接既没有网站的自然排序，也没有阻止万维网成为闭环网络的约束条件。自从20世纪90年代初首次出现以来，网络似乎也具有幂律入度和出度分布，以及关于其机构有着其他各种重要的性质，关于万维网的一个重要结构特性是，我们关于它的数据来自网络的“游走”^[17]，通过跟踪来自其他页面的超链接来查找网页。我们对万维网因此必然存在偏见，只有当另一个页面指向它时，才能找到一个页面，并且在一个只覆盖Web部分的爬网中（因为目前所有爬网都是这样做的）页面更有可能被找到，其他页面指向它们，这表明我们对低入度页面比例的测量可能被低估了。这种特性与引文网络有着鲜明的不同，它从来没有被引用过（实际上从未引用过多个指数中的论文），信息网络的其他一些例子的研究程度较低，例如美国专利之间的引用也可以构成专利网络，在某种程度上，专利网络也类似于学术论文的引用网络。许多作者都研究过计算机的虚拟网络，允许计算机用户在局域网或广域网上共享研究了叙词表中的单词类之间的关系网络，最近由其他各种作者研究了这种关系网络。这个网络可以被看作是一个词库的用户，它可以从一个单词到另一个单词浏览网络，寻找能够完美捕捉他们想法的特定单词，但它也可以看作是概念网络代表了语言的结构，甚至可能是用来表示语言的逻辑结构，还有一些其他的语义词网络也被研究过，例子信息网络中偏好网络是一种网络，它有两种节点，这两种节点分别被定义为个体及该个体偏好的对象，比如书或者电影，并且每个个体都有自己喜欢的书或者电影的边，偏好网络中的边也可以被加权用来表明对偏好的对象热爱的程度，加权值越高表示越热爱。其中偏好网络中得到了广泛研究的典型数据库是偏好网络数据库.这种网络形成了合作的基础新的算法和推荐系统，这些系统是基于个人偏好与其他偏好的比较来预测新喜好的技术。偏好网络在推荐商品和引导购买者购买商品时发挥了巨大的作用，在销售领域得到了巨大的应用与发展。当然，偏好网络也可以被认为是社交网络，不仅将人与物体连接起来，而且还将人与具有相似偏好的其他人连接起来。

2.社会网络

社交网络由有某种联系或互动模式的一群人组成，其中典型的社交网络如个人之间的友谊模式，在所有社会学科中，在对社会网络进行定量研究中，社会学拥有最长远的历史。关于这个主题的比较重要的研究有：20世纪30年代关于小团体中的友谊模式即关于南方妇女的社交网络的研究，这项研究以美国南部一个城市的妇女社交圈为研究对象。之后在20世纪30年代后期的突出研究为：埃尔顿梅奥对工人的社交网络的研究并提出的数学模型也是首个强调各种网络中度分布重要性的模型。

在研究社会网络中非常重要的实验是著名的小世界“米尔格拉姆实验”，虽然此项实验中没有建立出实际的网络模型，但他们却通过各种数据表现了网络结构，这就给了我们启发，是否可以通过一些具体指标来表达网络的结构特性。这次的实验要求参加者将一封信件交给被选定的目标人物，但传递过程中只能传递给他们相熟的人，直到传递到指定的目标，从而研究个体间路径长度的分布。此次实验中的大约四分之三的信件都丢失了，但任然有大约四分之一的信件到达到了制定的目标人物，个实验是“六度分离”的网络概念的起源，尽管这个词没有出现在米尔格拉姆的作品中，但仅在几十年后Guare就发明了这个词。因为除了诸如一些学者通过一些巧妙的间接研究之外，数据收集通常通过直接使用问卷或访谈直接询问参与者来进行，这就导致了传统的社交网络研究有着不精确的数据，网络的规模过小的问题。又如调查数据还受到受访者主观偏见的影响，例如，一位受访者如何去决定一位朋友，可能与另一位受访者的做法完全不同。虽然研究者在消除可能的不一致性来源方面付出了很多努力，但通常认为在大多数研究中存在很大且基本上不受控制的错误。

这些问题的存在使得研究人员采用其他更加合适的网络对社交网络进行探讨。基于这个问题，研究者们开始寻找更加准确的网络数据来源，其中可靠的数据网络来源之一是合作网络，此网络通常是一种参与者网络，参与者以某种方式进行协作，成对成员之间的联系由共同的成员组织建立。其中合作网络的典型例子是演员合作网络，演员合作网络的建立源于互联网电影数据库，在这个网络中，演员们在电影和两个演员中合作，那么他们一起出现在电影中被认为是相互关联的。许多研究人员对演员网络的统计特性进行了分析，之后又找寻了这种类型的合作网络的其他例子，如公司董事的网络，若两名董事属于同一董事会，则认为他们是相互关联的，还有学术人员中担任合作网络，如果他们有共同撰写了一篇或多篇论文，以及在同一语境中个人通过提及而链接在一起的互助网络，特别是在网页或报纸上引用文章也可以被认为是相互关联的。

其他关于社交网络的可靠数据的源自于基于通讯记录建立的通讯网络，定义为两个人之间的每个边缘代表两人之间通过邮件从一个发送到另一个的信件或包裹。其中关于通讯网络的研究中，艾洛分析了在一片区域内一天内打出的长途电话网络，此次研究中，拨打的电话号码以及接受的电话号码被定义为节点，而一个号码呼叫到另一个号码被定义为有向边。即使数据只包含一天的长途电话网络，这个图形也是巨大的，有大约5000万个顶点，这是在万维网图形之后研究的最大的图形之一。还有对通讯网络的研究为基尔大学的五千名学生与电子邮件服务器维护的日志之间的电子邮件通信模型。在这个网络中，电子邮箱被定义为节点，而从一个邮箱发送到另一个邮箱的邮件被定义为有向边。典型的类似的通讯网络还有纽曼构建的电子邮件网络。Guimera和Smith为一个“即时消息”系统构建了类似的网络，Holme为一个互联网社区网站构建了类似的网络。

3技术网络

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