摘 要

本文的主要研究为：在分数阶空间与分数阶算子的理论框架下，研究区间上一类带有不定非线性项的分数阶方程正解的存在性。

首先，我们需要通过应用一个基本不等式，经过变换得到相应的弱极值原理，进而推论出分数阶方程的上下解求解方法。然后，通过数学归纳等方法，我们就可以建立出与该方程对应的引理，利用分数阶算子的谱理论，就可以求出该方程中参数应该要满足的条件。最后，运用上述所得到的方程的上下解方法，可以求出方程有解的所有参数构成一个区间，通过变分法和反证法，就可以得出该方程正解的存在性。

通过变分法、引理、上下解方法以及正则性分析法可以得到区间上一类带有不定非线性项的分数阶方程正解的存在性。

关键词：分数阶空间；分数阶方程；正解的存在性；上下解

A fractional order Laplace equation with an indeterminate nonlinear term on an interval

Abstract

This paper studies the existence of positive solutions of a fractional-order equation with an indeterminate nonlinear term on the interval under the theoretical framework of the fractional order space and the fractional order operator.

First, we need to apply a basic inequality to obtain the corresponding weak extremum principle through transformation, then the equation of Laplace of fractional order is deduced. Then, through mathematical induction and other methods, we can establish the lemma corresponding to this equation. By using the spectral theory of the fractional order operator, the conditions which the parameters in this equation should satisfy are calculated; Finally, by using the upper and lower solutions of the equation obtained above, all the parameters of the equation with solutions can be found to form an interval. By means of variational method and reduction by contradiction, the existence of positive solutions of a fractional order Laplace equation with an indeterminate nonlinear term on the interval is obtained.

By means of variational method, lemma, upper and lower solution method and regularization analysis method, the existence of positive solutions of a fractional order Laplace equation with non-deterministic and non-linear term on the interval can be obtained.

Keywords: fractional space; Laplace equation of fractional order; Existence of positive solution; Upper and lower solutions

目 录

第一章 绪论 1

1.1 课题背景 1

1.2 分数阶方程的研究现状及分析 1

1.3 研究内容 5

第二章 预备知识 7

2.1 分数阶方程算子 7

2.2 分数阶方程的泛函分析基础 7

2.2.1 连续映射 8

2.2.2 范数和赋范线性空间 8

2.2.3 有界线性算子概念 9

2.2.4 强收敛与弱收敛 10

2.2.5 内积和希尔伯特空间 10

2.3 分数阶方程的泛函框架 11

2.4 本章小结 13

第三章 区间上一类带有不定非线性项的分数阶方程 15

3.1 引言 15

3.2 极值原理、上下解方法及引理 16

3.3 正解的存在性 22

3.4 本章小结 26

参考文献 27

致 谢 - 1 -

第一章 绪论

1.1 课题背景

在18世纪，就有学者发现了偏微分方程并将其提出来，然后一直发展到现在。偏微分方程涉及到很多的科学领域，从最初人们开始研究物理，几何问题发展到今天早已经成为了一个独立的数学分支。在20-21世纪中，经典的方程得到了充分的发展，涉及到许多学科和领域中。经典的方程虽然可以很好地解决很多实际问题中的扩散现象，但是不能解释许多反常扩散现象，为弥补这个缺陷进而发展出了分数阶方程。

后来随着偏微分方程理论的进一步地发展和完善，使得分数阶算子重新受到国内外许多数学研究者的广泛关注，使得分数阶算子得以完善进而被广泛的应用，正因如此，许多研究学者也纷纷开始从事微分方程的基础理论研究，并且对分数阶微分方程的方法和理论进行了总结 [^[1],^[2]]。现在分数阶算子在许多领域中都有着广泛的运用而且还起着重要的作用，比如在无穷小稳定扩散过程，等离子的反常扩散运动等，而且分数阶算子在概率和金融数学之中也起着十分重要的作用，关于这方面更多的研究请看文献[^[3],^[4]]。

1.2 分数阶方程的研究现状及分析

在20世纪，许多学者纷纷开始研究经典的方程，因而经典的方程也得到了空前的发展。经典的方程在数学、物理、化学、力学，生物等许多领域都有着重要的运用[^[5],^[6],^[7]]。在实际问题的应用中，经典的方程问题通常是以非线性的形式出现，可以归纳成如下的非线性方程:

其中是算子，其可定义为