1. 研究目的与意义

研究背景：力学系统在现实生活中有着广泛的应用，如机械、电子、物理、化学等领域。而对于一个力学系统，求其作用量函数的极值有着重要的现实意义。作用量函数求极值是一类泛函求极值问题，也可以作为对大学数学中极值最值问题的拓展和提升。本文拟初步探讨泛函求极值问题的基本方法，对几类重要的力学系统，初步探讨极值曲线的取得的条件，并进一步探讨极值曲线的动力学性质。

研究目的：本研究的目的在于深入探讨泛函求极值问题在力学系统中的应用，提出一种较为系统和实用的方法，对几类重要的力学系统，初步探讨极值曲线的取得条件，并进一步探讨极值曲线的动力学性质，从而为力学系统的分析和设计提供一定的理论支持和实用价值。本研究的意义在于深入探讨泛函求极值问题在力学系统中的应用，提出一种较为系统和实用的方法，为力学系统的分析和设计提供一定的理论支持和实用价值。同时，本研究也将进一步推动数学理论的发展和应用，为数学学科的研究和教学提供新的思路和方法。

2. 研究内容和预期目标

研究内容:（1）泛函求极值问题的基本概念和理论基础；
（2）对几类重要的力学系统，初步探讨极值曲线的取得条件；
（3）进一步探讨极值曲线的动力学性质，包括极值曲线的稳定性、极值点的分支和转折等。

预期目标：（1）泛函求极值问题的基本概念和理论基础的深入理解和掌握；
（2）提出一种较为系统和实用的方法，对几类重要的力学系统，初步探讨极值曲线的取得条件；
（3）进一步探讨极值曲线的动力学性质，包括极值曲线的稳定性、极值点的分支和转折等；
（4）通过对实际力学系统的分析，验证本文提出的方法的实用性和有效性；
（5）发表高水平的学术论文，为力学系统的分析和设计提供一定的理论支持和实用价值。

3. 研究的方法与步骤

研究方法：
本研究将采用理论分析和数值模拟相结合的方法。首先，基于泛函求极值问题的基本概念和理论基础，建立数学模型，并进行理论分析；其次，通过数值模拟方法，验证理论分析的结果；最后，通过对实际力学系统的分析，验证本文提出的方法的实用性和有效性。

研究步骤：

第一阶段：完成泛函求极值问题的基本概念和理论基础的学习和理解，初步建立数学模型。
第二阶段：对几类重要的力学系统，初步探讨极值
第三阶段：进一步探讨极值曲线的动力学性质，包括极值曲线的稳定性、极值点的分支和转折等，并进行数值模拟验证。
第四阶段：对实际力学系统进行分析，验证本文提出的方法的实用性和有效性，并完成论文撰写和整理。

4. 参考文献

[1]华东师范大学数学科学学院. 数学分析[m]．高等教育出版社，2019．

[2]张恭庆，变分学讲义，高等教育出版社，2011

[3]张恭庆，林源渠，泛函分析讲义：上册。北京：北京大学出版社，1987

5. 计划与进度安排

1：2024年2月20日-2月24日：在任务书的指导下，学生向老师询问所选论题的状况和要求；

2：2024年2月20日-3月3日：学生提交开题报告等材料（开题报告，外文翻译等），指导教师修改和审定学生的论文开题报告；

3：2024年3月6日-5月26日：学生按照开题报告撰写论文。